基于内模原理的LQG最优控制器的设计及仿真研究

基于内模原理的LQG最优控制器设计及仿真研究

靳其兵1，任士兵2，王再富3，孙晓天3

（1．北京化工大学 自动化研究所，北京 100029；2．北京化工大学 信息学院，北京 100029）

摘 要: 在传统内模控制原理的基础上，本文将最优控制理论中的线性二次型Gauss(LQG)最优控制引入到内模控制的结构中。针对被控对象的模型，根据二次型的性能指标，设计最优状态反馈控制器，同时考虑到系统的随机噪声和量测噪声设计Kalman滤波器，进而构建LQG最优控制器。通过LQG最优控制器和基于内模原理设计的校正调节器对被控对象进行控制。本文提出的方法综合了内模控制和LQG最优控制的优点，使控制系统达到满意的控制效果。仿真结果表明本文提出的设计方法能较好解决被控对象的实时性和时滞性，并且具有良好的抗噪性，稳定性。该方法参数调节容易，易于工程实施。 关键词: 内模控制；LQG最优控制器；Kalman滤波器；校正调节器 中图分类号: TP 1 文献标识码: A 文章编号：

LQG Optimum Controller Design and Simulation Base on Inter

Model Control Theory

JIN Qi-bing1，REN Shi-bing2，Wang Zai-fu3,Sun Xiao-tian3

(1．Automation Research Institute, Beijing University of Chemical Technology, Beijing 100029, China;

2．Information College, Beijing University of Chemical Technology, Beijing 100029, China)

Abstract: Base on the traditional internal model control(IMC) principle ,this article introduce linear quadric Gauss optimal control(LQG) to the IMC construct. According the system performance index, process model state feedback controller(LQ) is designed, at the same time ,considering system random noise and measurement noise design Kalman filter. Thus the system controller is LQG controller which is combine by LQ with Kalman filter and IMC controller, which synthesis LQG optimum control and IMC merit.The simulation shows that this method can overcome the influence on control performance come from the parameter variation and system noise of the controlled object with time delay, has stronger antinosie and stability. In addition, the proposed method is easy to regulate, and it is fit for engineering applications.

Key words:IMC;LQG optimum control; Kalman filter; Correction controller; Simulation

1 引言

在实际工业控制过程中，被控对象时常存在实时性和滞后性，而且被控对象的控制量及反馈量多为模拟信号，在信号传输过程中存在着多种随机噪声干扰。由于这类现象的存在，对工业生产的控制产生了很大的影响，难以使控制系统达到最优的控制状态对于时滞问题，内模（IMC）被证明是一种很有效的先进控制方法。但是对于系统存在的随机噪声和量测噪声，传统的内模控制是无法解决这类问题的。而线性二次型Gauss（LQG）最优控制被证明能很有效的解决系统随机噪声的问题，使系统达到最优的控制。许多文献都提出了一些新型的控

收稿日期: yyyy-mm-dd

制结构和调节方法来解决上述问题没，文献[5]讲述 了在Smith预估器的基础上加入了Butterworth滤波器，结合PD控制器进行共同控制，但是设计过程过于复杂，且没有考虑系统噪声的影响。在文献[3]中考虑了系统噪声，引入了Kalman滤波器，结合PID控制进行控制，但是控制效果没有内模控制的性能好。

本文受文献[5]的启发，在基于内模原理的基础上，引入了LQG最优控制的环节。根据辨识出的过程模型，考虑随机输入噪声和量测噪声设计LQG控制器，然后结合内模控制器对被控对象进行共同控制。本文提出的设计方法将内模和LQG最优控制两者结合起来，发挥二者各自的优点，使控制系

基金项目：国家863计划资助项目(2008AA042131)；国家973计划资助项目(2007CB714300)

作者简介: 靳其兵(1971-)，男，博士生导师，主要从事先进控制的研究与应用，E-mail: jinqb@mail.buct.edu.cn;

任士兵(1984-)，男，硕士研究生，主要从事多变量内模控制技术的研究与应用，E-mail: 2007000686@grad.buct.edu.cn;

统达到满意的控制效果。

2 内模-LQG最优控制器设计

2.1 结构框架

内模控制[1]方法自上世纪80年代被提出以来，已经被证明是一种有效可行的先进控制策略，并且在工业现场得到了成功的应用。但常规的内模结构并不能有效抑制现场的随机噪声，针对这一问题，本文在内模的基础上引入了LQG最优控制，改进后的控制结构如图1所示：

图1 内模-LQG控制结构框图

Fig.1 Structure of IMC-LQG

其中：Gc为控制器，Gp为被控对象，Gm为过程模型，LQG为根据模型设计的最优控制器，U*为LQG控制器的输出控制律，r为给定输入，d为干扰输入，?为系统干扰噪声，v为传感器带来的量测噪声，y为系统输出。

由传统的内模原理，通过求取参考输入r和扰动d与过程输出y之间的传递函数，易得出系统的闭环响应为：

y(s)?GP(Gc?u*)1?GmGc1?G?Gr??Gdm[Gpm]1?Gc[Gpm]如果模型准确，即Gm(s)=Gp(s),且没有外界扰动，通过选取合适的控制器，则模型的输出与设定是相等的，系统能够实现对设定的无偏差跟踪。

2.2 LQG控制器的设计

LQG最优控制器是由系统的最优反馈增益K和Kalman滤波器构成，其结构框图如图二所示。

图二 LQG最优控制器框图

Fig.2 Structure of LQG controller

?为系统干扰噪声，v为传感器带来的量测噪声，

被控对象即为图一中的Gp。本文中的LQG最优控制器是基于过程模型设计的，利用 LQG控制器与基于内模的控制器共同控制被控对象。取对象模型的状态方程为：

x?(t)?Ax(t)?Bu(t)?G?(t)y(t)?Cx(t)??(t)

式中?为系统干扰噪声，v为传感器带来的量测噪声，假设这些信号为零均值的Gauss过程，它们的协方差为：

E[?(t)?T(t)]???0E[v(t)vT(t)]???0

进一步假设?(t)和v(t)为相互独立的随机变量，使得E[?(t)vT(t)]?0，定义最优控制的目标函数为：

J?E?????xT(t)Qx(t)?uT0(t)Ru(t)??dt?

式中Q为给定的半正定实对称常数矩阵，R为给定

的正定实对称常数矩阵。通过求解u*使得目标函数J为最小。根据极值原理可以导出最优控制律：

u*??R?1BTPx??Kx，式中k即为最优反馈增益

矩阵，P为常值正定矩阵，必须满足黎卡提(Riccati)代数方程：PA?ATP?PBR?1BP?Q?0。通过状态反馈增益矩阵K，将受控系统的状态反馈到其输入端，用于调节系统状态的偏差，以校正受控系统的控制量，从而使得系统回到或者趋近于平衡状态。

在完成了最优反馈增益矩阵的设计后，接下来论述带有扰动的状态估计的问题。对于本文的LQG控制器设计，系统的Kalman滤波器就是最优观测器。对于带有系统噪声与量测噪声的实际系统，必须通过适当的机构抑制或滤掉噪声对系统的干扰及影响，对系统的状态做出精确的估计。由最优控制的理论可知，利用Kalman滤波器对系统进行最优控制是非常有效的。

针对模型的状态，令x?与x?分别为状态向量估计值与状态向量的估计误差值，x(t)为状态向量的理

论值，则有：x?(t)?x(t)?x?(t)。除上述假设外，还假设{C,A}是完全可观测的。在这些假设均成立的条件下，使估计误差平方和的期望值最小(最小方差迹准则滤波估计)即有：

J?E{xT(t)x?(t)}?min， 其最优估计器为：

x?.(t)?Ax?(t)?Bu(t)?L[y(t)?Cx?(t)] ?(A?LC)?x(t)?Bu()?tL (y)t式中L?PCT?10R0,其中P0为以下Riccati方程的解：APTTT?0?P0A?GQ0G?PC0Q10CP0?0,

可以证明，Riccati方程的解就是估计误差的协方差，而此协方差的迹(trP0)就是误差方差，即

trP0?trE[x?(t)xT(t)]?E[x?Tx(t)] 综上所述，根据LQG问题的分离原理，典型

的线性二次型Gauss最优控制器的设计步骤可以总结如下：

(1)根据二次型的性能指标J，寻求最优状态饭扩增益矩阵K。

(2)设计一个Kalman滤波器来估计系统状态。 (3)构建LQG最优控制器。

2.3 校正调节器设计

由于上文中的LQG最优控制器设计的前提是对受控系统建立状态空间描述形式的系统模型，系统综合导出的反馈控制是相对于受控系统模型而确定的。但是，由于在数学建模中不可避免的简化和实际生产中难以排除的因素，使得系统模型总是包含某种不确定性；此外，由于环境因素的原因，又可能导致系统参数的摄动，这些都可能导致所组成的控制系统达不到期望的性能甚至出现不稳定，这些问题仅仅通过LQG控制器是无法解决的。与此同时，基于内模原理的控制器就正好可以解决被控对象的时滞性和模型摄动的问题，因此本文的主回路校正调节器依旧沿用内模控制器的设计方法。 步骤1 过程模型Gm的分解

Gm?s?可以分解成两项：Gm??s?和Gm??s?，有 Gm?s??Gm??s?Gm??s?此处，Gm??s?是一个全

通滤波器传递函数，对于所有频率ω，满足

Gm??j???1。事实上，Gm??s?包含了所有时滞

和右半平面零点。Gm??s?是具有最小相位特征的传递函数，即Gm??s?稳定且不包含预测项。 步骤2 校正调节器的设计

若G?1?1m??s?存在且正则，则GIMC?s??Gm?s?是唯

一的最优内模控制器。若G?1m??s?非正则，则

G?1m??s?物理不可实现，

可引入滤波器f?s?，构成次优IMC控制器GC?s??G?1m??s?f?s?。通常对于

阶跃输入和扰动，取f(s)?1/(1??s)n的形式，式中n为相对阶，??0为滤波器时间常数，由于只

有一个可调整的参数?，导致在面对具体系统时难以在平稳性和快速性之间进行协调。针对这一现象，本文引用文献[7]的方法，采用一个二阶的Bessel反馈滤波器f(s)?1/(?1s2??2s?1)。结合根据内模原理设计的控制器，得到本文前向通道的校正调节器：

G??G?1C?sm??s?f?s?，?1,?2可以根据控制过程

中的实际情况进行调节。

综上所述，就完成了基于内模原理的LQG最优控制器的设计。

3 仿真实验

根据本文提出的基于内模原理的LQG最优控制器的方法，对实际生产中出现的对象进行仿真对比，并分析本文提出的方法的优越性。

3.1 系统过程仿真实验

本文的仿真被控对象取化工生产中一类典型的二阶时滞对象Gsp(s)?1?2s?1??3s?1?e?2，在仿

真中取系统的随机噪声?(t)?0.001，量测噪声

v(t)?0.01。根据不同情况，在Matlab中编写程序

进行仿真并进行对比。 （1）模型适配情况

考虑随机噪声和量测噪声的情况下，按照传统内模控制进行仿真，，滤波参数?1?0.5,?2?0.4，在20S加入单位阶跃信号，在80s加入20%的干扰，系统反应曲线如图3所示。由图可知，噪声对控制的效果产生了很大的影响，导致控制效果很不理想。

图3 加入噪声时传统内模控制阶跃响应

Fig.3 Unit step response of the process

with random noise

利用本文提出的内模-LQG最优控制器方法进行设计，经过判断被控系统是完全可观测的取加权矩阵Q1?1,R1?1,噪声不变，滤波参数亦不变，进行仿真，系统反应曲线如图四所示。由图可以知道LQG最优控制器的加入，使得随机噪声和量测噪声对系统的影响得到消除，结合内模原理设计的控制器也使系统具有良好的跟踪性和抗干扰性。

图4 模型匹配时系统输出的单位阶跃响应

Fig.4 Unit step response of the process without model-plant mismatches

(2)模型失配，被控对象的各参数同时增大20%，则被控对象的传递函数为

Gp(s)?1e?2s.，在

2?1.8s?1??3.2s?1?t?40时刻加入幅值为-0.2的阶跃干扰信号，原来的系统噪声

不变，各控制器参数保持不变，进行仿真。从图5可以看出，对于模型出现失配时，本文提出的改进型内模控制方法仍然具有更好的给定值跟踪性能和抗扰动性能。

图5 模型失配时系统输出的单位阶跃响应

Fig.5 Unit step response of the process

with model-plant mismatches

(3)方法比较，被控对象相同，三种控制结构的输出响应如图6所示。从中我们可以看出本文提出

的改进型内模控制方法与文献[3[4]提出的PID-Kalman和LQG最优控制方法相比系统输出响应更加快速而且平滑，具有更好的鲁棒性能。体现出本文的设计思想，即将内模和LQG最优控制两者结合起来，发挥二者各自的优点，使控制系统达到满意的控制效果。

图6 模型匹配时系统输出的单位阶跃响应及比较

Fig.6 Unit step response of the process and compare

without model-plant mismatches

3 结论

本文将内模控制与线性二次型Gauss(LQG)最优控制相结合，对大时滞对象进行控制。在构建LQG最优控制器时，考虑系统的随机噪声和量测噪声设计Kalman滤波器，并根据性能指标寻求最优状态反馈增益矩阵。将基于内模原理设计的校正调节器与LQG最优控制器相结合，改善了控制系统的品质，系统具有比较好的跟踪性能、抗扰性能以及抗噪性。通过仿真对比，显示了本方法在的有效性和先进性。 参考文献

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