2016年高考全国2卷理科数学试卷(解析版)

uuuruuuruuurAB??4，3，0?，AD'???1，3，3?，AC??0，6，0?， ur设面ABD'法向量n1??x，y，z?，

x2y2【解析】 ⑴当t?4时，椭圆E的方程为??1，A点坐标为??2，0?，

43则直线AM的方程为y?k?x?2?．

uuruuur?x?3?n?AB?04x?3y?0??1?由?u得?，取?y??4， uruuuur??z?5?n1?AD??0??x?3y?3z?0?∴n1??3，?4，5?．

?x2y2?1??222243联立?并整理得，3?4kx?16kx?16k?12?0 ?y?k?x?2????uruur同理可得面AD'C的法向量n2??3，0，1?，

8k2?6128k2?622AM?1?k??2?1?k? 解得x??2或x??，则

3?4k23?4k23?4k2uruurn1?n29?575??∴cos??u， ruur25n1n252?10∴sin??

?1?AN?1?????因为AM?AN，所以?k?212?1?3?4??1???k?2?1?k2?123k?4 k295． 25所以因为AM?AN，k?0，

1?k2?（20）（本小题满分12分）

1212?1?k2?24，整理得?k?1??4k2?k?4??0， 3?4k3k?k4k2?k?4?0无实根，所以k?1．

x2y2已知椭圆E:??1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k?0)的直线

t3交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA. （I）当t1所以△AMN的面积为AM221?12?144??1?1?． ??2?3?4?492?4，AM?AN时，求△AMN的面积；

⑵直线AM的方程为y?kx?（II）当2AM?AN时，求k的取值范围.

?t，

?第 7 页

?x2y2?1??22222t3联立?并整理得，?3?tk?x?2ttkx?tk?3t?0

?y?kx?t?ex?ax?a(II)证明：当a?[0,1) 时，函数g?x?=(x?0) 有最小值.设g?x?的最小

x2值为h(a)，求函数h(a)的值域. 【解析】⑴证明：f?x????ttk2?3tx?2xe 解得x??t或x??3?tk2，

2所以AM?1?k2?ttk?3t 3?tk2?t?1?k2?6t3?tk2 6t 所以

AN?1?k2?3k?t

k因为2AM?AN

所以

2?1?k2?6t3?tk2?1?k2?6t6k2?3k3k?t，整理得，t?3． kk?2因为椭圆E的焦点在x轴，所以t?3，即6k2?3kk3?2?3，整理得

?k2?1??k?2?k3?2?0

解得32?k?2．

（21）（本小题满分12分） (I)讨论函数f(x)?x?2x?2ex的单调性，并证明当x?0时，(x?2)ex?x?2?0; 第 8 页

x?2f??x??ex??x?24??x?2??x?2?2???x2ex

??x?2?2?当x????，?2?U??2,???时，f??x??0 f?x?在???，?2?和??2,???上单调递增 x?0时，

x?2x?2ex?f?0?=?1 ?x?2?ex?x?2?0

x⑵ g??x???e?a?x2?2x?ex?ax?a?x4

x?x?xex?2e?ax?2a?x4

?x?2???x?2?x?2?ex?a????x3

a??0，1? 由(1)知，当

x?0时，f?x??x?2x?2?ex的值域为??1，???，只有一解．

∵ ∴ ∴ ∴

使得

t?2t?e??a，t??0，2? 【解析】（Ⅰ）证明：∵DF?CE

t?2当x?(0,t)时g?(x)?0，g(x)单调减；当x?(t,??)时

g?(x)?0，g(x)单调增

etet??t?1?t?2?eth?a???a?t?1?t?2ett2?t2?t?2 记k?t??ett?2，在t??0,2?时，k??t??et?t?1??t?2?2?0，∴k?t?单调递增

∴h?a??k?t????1，e2??24?．

?

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，在正方形ABCD，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F. (I) 证明：B，C，G，F四点共圆；

(II)若AB?1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.

第 9 页∴Rt△DEF∽Rt△CED ∴?GDF??DEF??BCF

DFDG?CFBC ∵DE?DG，CD?BC ∴

DFDG?CFBC ∴△GDF∽△BCF ∴?CFB??DFG ∴

?GFB??GFC??CFB??GFC??DFG??DFC?90?

∴?GFB??GCB?180?．∴B，C，G，F四点共圆．

（Ⅱ）∵E为AD中点，AB?1， ∴DG?CG?DE?12， ∴在Rt△GFC中，GF?GC，

连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG， ∴S四边形BCGF?2S△BCG=2?12?1?112=2．

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xOy中，圆C的方程为?x?6??y2?25．

2（II）证明：当a，b?M时，a?b?1?ab． 【解析】解：⑴当x??1111时，f?x???x?x???2x，若?1?x??； （I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

（II）直线l的参数方程是??x?tcos??y?tsin?（t为参数），

l与C交于A、B两点，AB?10，求l的斜率．

【解析】解：⑴整理圆的方程得x2?y2?12?11?0，

??2?x2?2

由?y??cos??x可知圆C的极坐标方程为?2?12?cos??11?0． ???sin??y

⑵记直线的斜率为k，则直线的方程为kx?y?0，

由垂径定理及点到直线距离公式知：?6k21?k2?25???10??， ?2???2

即

36k901?k2?4，整理得k2?5153，则k??3．

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲

已知函数f?x??x?12?x?12，M为不等式f?x??2的解集. （I）求M；

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2222当?12≤x≤12时，f?x??12?x?x?12?1?2恒成立； 当x?12时，f?x??2x，若f?x??2，12

综上可得，M??x|?1?x?1?．

⑵当a，b???1，1?时，有?a2?1??b2?1??0， 即a2b2?1?a2?b2，

则a2b2??2ab?1?a2?2ab?b2， 则?ab?1?2??a?b?2，

即a?b?ab?1， 证毕．