自动控制原理习题及解答

自动控制原理习题及其解答

第一章（略） 第二章

例2-1 弹簧，阻尼器串并联系统如图2-1示，系统为无质量模型，试建立系统的运动方程。

解：(1) 设输入为yr，输出为y0。弹簧与阻尼器并联平行移动。

(2) 列写原始方程式，由于无质量按受力平衡方程，各处任何时刻，均满足对于A点有

Ff?FK1?FK2?0

其中，Ff为阻尼摩擦力，FK1，FK2为弹性恢复力。 (3) 写中间变量关系式

Ff?f?d(yr?y0)dt?K1(Yr?Y0)

?F?0，则

FK1FK2?K2y0(4) 消中间变量得 f(5) 化标准形 T其中:T?dydyr?f0?K1yr?K1y0?K2y0 dtdtdy0dy?y0?Tr?Kyr dtdt5为时间常数，单位[秒]。

K1?K2 K?K1为传递函数，无量纲。

K1?K2例2-2 已知单摆系统的运动如图2-2示。 (1) 写出运动方程式 (2) 求取线性化方程 解：（1）设输入外作用力为零，输出为摆角? ，摆球质量为m。 （2）由牛顿定律写原始方程。

d2? m(l2)??mgsin??h

dt其中，l为摆长，l? 为运动弧长，h为空气阻力。

（3）写中间变量关系式

d?) dtd?式中，α为空气阻力系数l为运动线速度。

dt（4）消中间变量得运动方程式

h??(l

图2-2 单摆运动

d2?d? ml2?al?mgsin??0 （2-1)

dtdt此方程为二阶非线性齐次方程。

（5）线性化

由前可知，在? ＝0的附近，非线性函数sin? ≈? ，故代入式（2-1）可得线性化方程为

d2?d? ml2?al?mg??0

dtdt例2-3 已知机械旋转系统如图2-3所示，试列出系统运动方程。

图2-3 机械旋转系统

解：（1）设输入量作用力矩Mf，输出为旋转角速度? 。 （2）列写运动方程式

d???f??Mf dt式中， f?为阻尼力矩，其大小与转速成正比。

（3）整理成标准形为

J Jd??f??Mf dt此为一阶线性微分方程，若输出变量改为?，则由于 ??代入方程得二阶线性微分方程式

d? dtd2?d??Mf J2?fdtdt例2-4 设有一个倒立摆安装在马达传动车上。如图2-4所示。

图2-4 倒立摆系统

倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾倒，这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2-65所示平面内运动。控制力u作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心A。试求该系统的运动方程式。

解：(1) 设输入为作用力u，输出为摆角? 。

(2) 写原始方程式，设摆杆重心A的坐标为（XA，yA）于是 XA＝X＋lsin? Xy = lcos?

画出系统隔离体受力图如图2－5所示。

图2-5 隔离体受力图

摆杆围绕重心A点转动方程为：

d2? J2?Vlsin??Hlcos? （2－2）

dt式中，J为摆杆围绕重心A的转动惯量。

摆杆重心A沿X轴方向运动方程为：

md2xAdt2?H

d2即 m2(x?lsin?)?H （2－3）

dt摆杆重心A沿y轴方向运动方程为： md2yAdt22?V?mg

即 m小车沿x轴方向运动方程为：

d2dt(lcos?)?V?mg

d2x M2?u?H

dt方程（2－2），方程（2－3）为车载倒立摆系统运动方程组。因为含有sin? 和cos? 项，所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。

(3) 当? 很小时，可对方程组线性化，由sin? ≈?，同理可得到cos≈1则方程式(2－2)式（2－3）可用线性化方程表示为：

?d2??J2?Vl??Hl?dt?d2xd2??m2?ml2?H?dtdt ?

0?V?mg??d2x?M2?u?H?dtd2用S?2的算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量V、H、X得

dt2 (?Ml?将微分算子还原后得

M?mJ)s2??(M?m)g??u mlMJJd2?d??)2?(M?m)g??u (Ml?mlldtdt此为二阶线性化偏量微分方程。

例2-5 RC无源网络电路图如图2－6所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数Uc(s)/Ur(s)。