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设在这个等价关系下得到的商集Y?{[?1],[2],[4]},试写出Y的商拓扑T . 答案：T ?{?,Y,{[4]},{[2],[4]}} 六、证明题（每题8分）
1、设f:X?Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则f(X)是Y的一个连通子集. 证明：如果f(X)是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集A,B使得
f(X)?A?B …………………………………………… 3分
于是f?1(A),f?1(B)是X的非空子集，并且：
(f?1(A)?f?1(B))?(f?1(B)?f?1(A))?(f?1(A)?f?1(B))?(f?1(B)?f?1(A)) ?f?1((A?B)?(A?B))??所
以
f?1(A),f?1(B)?1是
?1X的非
?1空隔离子集 此外，
f?1(?A)f(?B)?f(A?f(X)是Y的一不连通，矛盾.从而)B，这说明(f?X(f)X)X个连通子集. ………………………… 8分
2、设Y是拓扑空间X的一个连通子集, 证明: 如果A和B是X的两个无交的开集使得Y?A?B,则或者Y?A,或者Y?B.
证明：因为A,B是X的开集，从而A?Y,B?Y是子空间Y的开集. 又因Y?A?B中，故Y?(A?Y)?(B?Y) ………………… 4分
由于Y是X的连通子集,则A?Y,B?Y中必有一个是空集. 若B?Y??,则Y?A;若
A?Y??,则Y?B………………… 8分
3、设Y是拓扑空间X的一个连通子集, 证明: 如果A和B是X的两个无交的闭集使得Y?A?B,则或者Y?A,或者Y?B.
证明：因为A,B是X的闭集，从而A?Y,B?Y是子空间Y的闭集. 又因Y?A?B中，故Y?(A?Y)?(B?Y) ………………… 4分
由于Y是X的连通子集,则A?Y,B?Y中必有一个是空集. 若B?Y??,则Y?A;若
A?Y??,则Y?B………………… 8分
4、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，Z?X满足Y?Z?Y，则Z也是X的一个连通子集. 证明：若Z是X的一个不连通子集，则在X中有非空的隔离子集A,B 使得Z?A?B.因此
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Y?A?B ………………………………… 3分
由于Y是连通的，所以Y?A或者Y?B,如果Y?A，由于Z?Y?A，所以Z?B?A?B??，因此 B?Z?B??,同理可证如果Y?B，则A??,均与假设矛盾.故Z也 是X的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分
5、设{Y?}???是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族.如果????Y???,则????Y?是X的一个连通子集. 证明：若
????Y?是X的一个不连通子集.则X有非空的隔离子集A,B使得
????Y??A?B………………………………………… 4分
任意选取x?????Y?,不失一般性，设x?A,对于每一个???，由于Y?连通，从而????Y??A及B??,矛盾，
所以????Y?是连通的. ………………………………………… 8分
6、设A是拓扑空间X的一个连通子集，B是X的一个既开又闭的集合.证明：如果A?B??,则A?B.
证明：若B?X,则结论显然成立.
下设B?X,由于B是X的一个既开又闭的集合,从而A?B是X的子空间A的一个既开又闭的子集………………………………… 4分
由于A?B??及A连通，所以A?B?A，故A?B.………… 8分 7、设A是连通空间X的非空真子集. 证明:A的边界?(A)??. 证明：若?(A)??,由于?(A)?A??A??,从而
??A??A???(A??A??)?(A?A?)?(A??A?)?(A?A??),
故A ,A?是X的隔离子集 ………………………………………… 4分
因为A是X的非空真子集,所以A和A?均非空,于是X不连通,与题设矛盾.所以
?(A)??. ……………………………………………… 8分
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