2019-2020年高考数学一轮总复习第5章数列5.3等比数列及其前n项和模拟演练理

2019-2020年高考数学一轮总复习第5章数列5.3等比数列及其前

n项和模拟演练理

－1－(2

n－1

－1)＝2

n－1

(n≥2)，n＝1时也成立，所以an＝2

21

22

2

n－1

，则an＝2

n22n－2

，所以数列{an}为首

2

项为1，公比为4的等比数列，所以a＋a＋…＋an＝

1×

1－41－44－1＝，故选D.

3

n13．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，当整数n>1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，则S15

＝________.

答案 211

解析 当n>1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)可以化为(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)＝2S1＝2，即n>1时，an＋1－an＝2，即数列{an}从第二项开始组成公差为2的等差数列，所以S15＝a1＋(a2＋…2＋28

＋a15)＝1＋×14＝211.

2

14．数列{an}的前n项和为Sn，对于任意的正整数n都有an>0,4Sn＝(an＋1). (1)求证：数列{an}是等差数列，并求通项公式； (2)设bn＝n，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.

3解 (1)证明：令n＝1,4S1＝4a1＝(a1＋1)， 解得a1＝1， 由4Sn＝(an＋1)， 得4Sn＋1＝(an＋1＋1)， 两式相减得

4an＋1＝(an＋1＋1)－(an＋1)， 整理得(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0， 因为an>0， 所以an＋1－an＝2，

则数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，

2

2

22

2

2

anan＝1＋2(n－1)＝2n－1.

2n－1

(2)由(1)得bn＝n，

3

Tn＝1＋2＋3＋…＋

1333532n－1

，① n3

11352n－1

Tn＝2＋3＋4＋…＋n＋1，② 33333①－②得

1?2n－121?11

Tn＝＋2?2＋3＋…＋n?－n＋1

3?333?331?1?1－n－1??9?3?2n－122n＋21

＝＋2×－n＋1＝－n＋1， 31333

1－3

9 / 10

2019-2020年高考数学一轮总复习第5章数列5.3等比数列及其前

n项和模拟演练理

所以Tn＝1－

n＋1

3

n.

10 / 10