2020高考数学第二轮通用(文)逐题特训12+4分项练(五)

过M点作F1F2的垂线并交F1F2于点H， 因为|MF1|＝3|MF2|，M在双曲线上，

所以根据双曲线性质可知，|MF1|－|MF2|＝2a， 即3|MF2|－|MF2|＝2a，|MF2|＝a，

因为圆x2＋y2＝b2的半径为b，OM是圆x2＋y2＝b2的半径，所以|OM|＝b， 因为|OM|＝b，|MF2|＝a，|OF2|＝c，a2＋b2＝c2， 所以∠OMF2＝90°，△OMF2是直角三角形， 因为MH⊥OF2，

所以|OF2|×|MH|＝|OM|×|MF2|，|MH|＝ab即M点纵坐标为，

c

将M点纵坐标代入圆的方程中可得b2ab?b2?解得x＝，M?c，c?， c

b4a2

将M点坐标代入双曲线方程中可得22－2＝1，

acc化简得b4－a4＝a2c2，(c2－a2)2－a4＝a2c2，c2＝3a2， c

e＝＝3. a

y2x2

13．(2019·靖远模拟)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近

ab

x2＋a2b22

＝b， c2ab， c

b

线与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则＝________.

a3答案 4

解析 双曲线C的渐近线方程为by±ax＝0， 画出图象(图略)可知，

与圆相切的只可能是by－ax＝0， 由|b－2a|

＝1，

a2＋b2

b3得3a＝4b，故＝.

a4

14．(2019·上海市交大附中模拟)过直线l：x＋y＝2上任一点P向圆C：x2＋y2＝1作两条切线，切点分别为A，B，线段AB的中点为Q，则点Q到直线l的距离的取值范围为________． 2

答案 ?，2?

?2?

解析 设点P(x0,2－x0)，则直线AB的方程为x0x＋(2－x0)y＝1(注：由圆x2＋y2＝r2外一点E(x0，y0)向该圆引两条切线，切点分别为F，G，则直线FG的方程是x0x＋y0y＝r2)，注意到直线11?AB：x0x＋(2－x0)y＝1，即x0(x－y)＋(2y－1)＝0，直线x－y＝0与2y－1＝0的交点为N??2，2?.→→又OQ·QN＝0，因此点Q的轨迹是以ON为直径的圆(除去原点)，其中该圆的圆心坐标是12?1，1?，?1，1?到直线x＋y－2＝0的距离等于半径是|ON|＝.又线段ON的中点?44??44?24＝

?1＋1－2?

?44?

2

32322322??2?. ，因此点Q到直线l的距离的取值范围是?＝－，＋，24444??2?4?

x2y215．(2019·沈阳郊联体模拟)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1

43与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论序号正确的有________．

22x0y2x2y000

①＋<1；②＋>1； 4343

x0y0

2

③＋<1；④4x20＋3y0>1. 43答案 ①③④

解析 F1(－1,0)，F2(1,0)，

→→

因为l1⊥l2，MF1·MF2＝0，

所以(－1－x0)×(1－x0)＋(－y0)×(－y0)＝0，

2即x20＋y0＝1，

M在圆x2＋y2＝1上，它在椭圆的内部，

2

x0y20

故＋<1，故①正确，②错误； 43

3×412xy

O到直线＋＝1的距离为＝>1，

4355xy

O在直线＋＝1的下方，

43

x0y0

故圆x2＋y2＝1在其下方，即＋<1，故③正确；

43

222

4x20＋3y0≥x0＋y0＝1，

222但4x20＝x0，3y0＝y0不同时成立， 222故4x20＋3y0>x0＋y0＝1，故④成立．

16．(2019·成都诊断)已知F为抛物线C：x2＝4y的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，抛物线C在A，B两点处的切线分别是l1，l2，且l1，l2相交于点P.设|AB|＝m，则|PF|的值是________(结果用m表示)． 答案

m

解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

设AB：y＝kx＋1，代入抛物线方程，

消去y得，x2－4kx－4＝0， 则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4， ∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4k2＋2， ∵|AB|＝y1＋y2＋2＝m， ∴4k2＋4＝m.

1

由抛物线C：x2＝4y可得y＝x2两边对x求导数，

41

得到y′＝x，

2

11

则切线l1的斜率为x1，切线l2的斜率为x2，

221

∴直线l1的方程为y－y1＝x1(x－x1)，

2112

即y＝x1x－x1，①

24

1

则直线l2的方程为y－y2＝x2(x－x2)，

2112

即y＝x2x－x2，②

24

x1＋x2x1x2

由①②解得x＝＝2k，y＝＝－1，

24∴点P的坐标为(2k，－1)， 根据两点间距离公式得到： |PF|＝

4k2＋?－1－1?2＝

4k2＋4＝m.