2020高考数学第二轮通用(文)逐题特训12+4分项练(五)

(五)解析几何

1．(2019·成都诊断)已知a∈R且为常数，圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，过圆C内一点(1,2)的直线l与圆C相交于A，B两点，当弦AB最短时，直线l的方程为2x－y＝0，则a的值为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 答案 B

解析 圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0， 化简为(x＋1)2＋(y－a)2＝a2＋1， 圆心坐标为C(－1，a)，半径为如图，

a2＋1.

由题意可得，当弦AB最短时，过圆心与点(1,2)的直线与直线2x－y＝0垂直． 则

1

＝－，即a＝3.

2－1－1a－2

2．(2019·毛坦厂中学联考)已知F1，F2两点是中心为原点的双曲线C的焦点，F1(0,5)，P是该双曲线上一点，||PF1|－|PF2||＝6，则该双曲线的渐近线为( ) A．3x±5y＝0 C．4x±3y＝0 答案 D

解析 由题意知，该双曲线焦点在y轴上，

B．5x±3y＝0 D．3x±4y＝0

c＝5,2a＝6，即a＝3，∴b＝

c2－a2＝4，

3

则双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即3x±4y＝0.

4

3．(2019·抚顺模拟)已知斜率为－1的直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为－2，则该抛物线的准线方程为( ) A．x＝2 C．x＝－2 答案 D

p

解析 由题意，直线AB：y＝－x＋并代入y2＝2px，

2并整理得：y2＋2py－p2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

y1＋y2

则y1＋y2＝－2p，∴＝－p＝－2，解得p＝2.

2p

所以该抛物线的准线方程为x＝－＝－1.

2

x2y21

4．(2019·南昌适应性测试)若椭圆Γ：2＋2＝1 (a>b>0)的离心率为，A，F分别为椭圆的左、

ab3右焦点，B 为右顶点，过右焦点F作垂直于x轴的直线交椭圆于点C，则cos∠ACB等于( ) 35327

A. B. C. D. 57725答案 D

1

解析 因为椭圆的离心率为，所以a＝3c，b＝22c，

3因为过右焦点F作垂直于x轴的直线交椭圆于点C， b8

c，±?，即C?c，±c?， 所以得点C?a?3???从而A(－c,0)，B(3c,0)， 在△ABC中，|AC|＝

1010

c，|BC|＝c，|AB|＝4c， 33

2

B．x＝1 D．x＝－1

1002

×c×2－16c297

cos∠ACB＝＝.

100225×c×29

5．设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点M(5，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物

S△BCF

线的准线相交于C点，|BF|＝3，则△BCF与△ACF的面积之比等于( )

S△ACF3456A. B. C. D. 4567答案 D

解析 设点A在第一象限，点B在第四象限，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线AB的方程为x＝my＋5. 由y2＝4x得p＝2，

p

因为|BF|＝3＝x2＋＝x2＋1，

2所以x2＝2，则y22＝4x2＝4×2＝8， 所以y2＝－22，

2??y＝4x，由?得y2－4my－45＝0， ?x＝my＋5，?

由根与系数的关系，得y1y2＝－45， 5所以y1＝10，由y21＝4x1，得x1＝. 2

过点A作AA′垂直于准线x＝－1，垂足为A′(图略)， 过点B作BB′垂直于准线x＝－1，垂足为B′， 易知△CBB′∽△CAA′， S△BCF|BC||BB′|所以＝＝.

S△ACF|AC||AA′|

p57

又|BB′|＝|BF|＝3，|AA′|＝x1＋＝＋1＝，

222S△BCF36

所以＝＝.

S△ACF77

2

x2y2

6．已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以OF2为直径的圆M

ab与双曲线C相交于A，B两点，其中O为坐标原点，若AF1与圆M相切，则双曲线C的离心率为( ) A.

2＋36

2

B.

2＋6

2

32＋6C.

2答案 C

32＋26D.

2

c3c

解析 根据题意，有|AM|＝，|MF1|＝，

22π

因为AF1与圆M相切，所以∠F1AM＝，

2所以由勾股定理可得|AF1|＝2c， 所以cos∠F1MA＝|AM|1

＝， |F1M|3

1c

所以cos∠AMF2＝－，且|MF2|＝，

32由余弦定理可求得

|AF2|＝

c2c2cc?1?6

－＝c， ＋－2···4422?3?3

32＋6

＝.

26c

2c－

32c

2c

所以e＝＝

2a

x2y2

7．已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，点P是双曲线C上与

abA1，A2不重合的动点，若kPA1kPA2＝3，则双曲线的离心率为( ) A.2 B.3 C．4 D．2 答案 D

解析 设P(x0，y0)(x0≠±a)，A1(－a,0)，A2(a,0)， y0y0∵kPA1kPA2＝3，∴·＝3，

x0＋ax0－a

22

即y20＝3x0－3a，① 2

x0y20

又2－2＝1，② ab

222

由①②可得(b2－3a2)x20＝a(b－3a)，