材料力学总结

集中力作用处 集中力偶作用处

若某截面的剪力

dM(x)?FS(x)?0FS(x)=0，根据dx，该截面的

弯矩为极值。

梁横截面上的正应力·梁的正应力强度条件

纯弯曲━━ 梁或梁上的某段内各横截面上无剪力而只有弯矩，横截面上只有与弯矩对应的正应力。

横力弯曲━━ 梁的横截面上既有弯矩又有剪力；相应地，横截面既有正应力又有切应力。

Me

M

FFSMFMCMz??y?dA?A??CFA1?MEIz?

E由式可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为?

上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，梁的横截面上的弯矩M 不随截面位置变化，故知对于等截面的直梁包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。

A??y2dA?EIz??M将上式代入得出的式子

??Ey?即得弯曲正应力计算公式：

??MyIz

中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应力的值smax为

MymaxMM ?max???Iz?Iz?Wz式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数，其单位为

?m3。 ?y???max?

中性轴 z 不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为

?c,max?

简单截面对于形心轴的惯性矩和弯曲截面系数 (1) 矩形截面

Myc,maxIz?t,max?Myt,maxIz

bh3Wz?Iz?bh22Iz??ydA??bydy?h6A?h212 2

h22??2Iybhb2bhWy??22Iy??zdA??hzdz?b6A?b2212

3??

(2) 圆截面

在等直圆杆扭转问题(§3-4)中已求得：

d?o z y πd4Ip???dA?A32

z 2而由图可见，ρ2=y2+z2 , 从而知

222πd4Ip???dA??ydA??zdA?Iz?Iy?AAA32

根据对称性可知，原截面对于形心轴z和y的惯性矩Iz和Iy是相等的，Iz= Iy，于是得

3IIπdyzIpπdWz?Wy???Iz?Iy??dd3222264，而弯曲截面系数为

dy A 4????(3) 空心圆截面

由于空心圆截面的面积Ａ等于大圆的面积AD减去小圆(即空心部分)的面积Ad故有

Iz??y2dA??AADAD?AdAdy2dA??y2dA??y2dAD d O y z πDπdπ??D4?d46464644πD?1??464?44??式中， D 。

??d??Wz?而空心圆截面的弯曲截面系数为 根据对称性可知：

IzπD3?1??4D322

??Iy?Iz, Wy?Wz

思考： 空心圆截面对于形心轴的惯性矩就等于大圆对形心轴的惯性矩减去小圆对于形心轴

的惯性矩；但空心圆截面的弯曲截面系数并不等于大圆和小圆的弯曲截面系数之差，为什么？

Ⅱ. 纯弯曲理论的推广

工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面由于切应力的存在而发生翘曲。此外，横向力还使各纵向线之间发生挤压。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性力学的分析结果表明，受满布荷载的矩形截面简支梁，当其跨长与截面高度之比l/h大于5时，梁的跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正应力其误差不超过1%，故在工程应用中就将纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，

??即

M(x)yM(x), ?max?IzWz

Ⅲ .梁的正应力强度条件

等直梁横截面上的最大正应力发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的边缘处，而且在这些边缘处，即使是横力弯曲情况，由剪力引起的切应力也等于零或其值很小(详见下节)，至于由横向力引起的挤压应力可以忽略不计。因此可以认为梁的危险截面上最大正应力所在各点系处于单轴应力状态。于是可按单向应力状态下的强度条件形式来建立梁的正应力强度条件：

?max????式中，[s]为材料的许用弯曲正应力。对于中性轴为横截面对称轴

Mmax????Wz的梁，上述强度条件可写作

由拉、压许用应力[st]和[sc]不相等的铸铁等脆性材料制成的梁，为充分发挥材料的强

度，其横截面上的中性轴往往不是对称轴，以尽量使梁的最大工作拉应力st,max和最大工作压应力sc,max分别达到(或接近)材料的许用拉应力[st]和许用压应力[sc] 。 §4-5 梁横截面上的切应力·梁的切应力强度条件 Ⅰ. 梁横截面上的切应力 (1) 矩形截面梁

从发生横力弯曲的梁中取出长为dx的微段，如图所示。

b h O z y

d

x

dFS????bdx 以上式代入前已得出的式子

dFS??dM*SzIz**FSSzdMSz?????dxIbIzb z 得

根据切应力互等定理可知，梁的横截面上距

中性轴z的距离为y处的切应力t 必与t '

*FSSz??Izb 互等，从而亦有

矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式

z y1 y y dA*FSSz??Izb式中，FS为横截面上的剪力；Iz 为整个横截面对于中

性轴的惯性矩；b为矩形截面的宽度(与剪力FS垂直的截面尺寸)；Sz*为横截面上求切应力t 的点处横线以外部分面积对中性轴的静矩，

*Sz??*y1dAA

上式就是矩形截面等直梁在对称弯曲时横截面上任一点处切应力的计算公式。 b z h y y y1 dy1

O S??*y1dA??A*zh2yb?h22??y1bdy1???y?2?4??FSb?h2FS?h22?2???????y???y?????Izb2?4?2Iz?4?

可见

1. t 沿截面高度系按二次抛物线规律变化；

2. 同一横截面上的最大切应力tmax在中性轴处(y=0):

FSh2FSh23FS3FS?max?????38Iz8?bh122bh2A??

(

a)

(3) 薄壁环形截面梁

薄壁环形截面梁在竖直平面内弯曲时，其横截面上切应力的特征如图a所示：

1. 由于d <

2. 由于梁的内、外壁上无切应力，故根据切应力互等定理知，横截面上切应力的方向与圆周相切；

薄壁环形截面梁横截面上的最大切应力tmax在中性轴z上，半个环形截面的面积A*=pr0d，其形心离中性轴的距离(图

2r0b)为π，故求tmax时有

*Sz??π?r0??2r0?2r02?π

整个环形截面对于中性轴z的惯性矩Iz可利用整个截面对于圆心O的极惯性矩得到，

如下:

Ip???dA?2π?r0?r?2π?rA22030及

Ip???2dA??y2?z2dA??y2dA??z2dAAAAA?? ?Iz?Iy?2Iz