材料力学总结

由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其值为9.56 kN·m。

T?max???T?Ip 横截面周边上

?maxd?max?各点处(r = r)的最大切应力为

TTrTT??Ip?Ip?Wp??r????

?maxd?maxD式中Wp称为扭转截面系数，其单位为 m3。 圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp

πd3πd4Wp?d/2?16实心圆截面：Ip?

32πD4Ip?1??4空心圆截面：32d其中??DIp??πD4?d4πD3Wp???1??4D/216D16Ip????

Ⅲ. 斜截面上的应力

现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面 ef (如图)上的应力。

分离体上作用力的平衡方程为

??dA???dAcos??sin?????dAsin??cos??0?F??0,?F??0,??dA???dAcos??cos?????dAsin??sin??0

利用t =t '，经整理得

?????sin2?,????cos2?

由此可知：

(1) 单元体的四个侧面(a = 0°和 a = 90°)上切应力的绝对值最大； (2) a =-45°和a =+45°截面上切应力为零，而正应力的绝对值最大；

??45??max??????45??min????，如图所示。

Tmax?[?]WpⅣ. 强度条件

?max?[?] 此处[t]为材料的许用切应力。对于等直圆轴亦即

铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上的切应力有固定关系，故仍可以切应力和许用切应力来表达强度条件。 等直圆杆扭转时的变形·刚度条件 Ⅰ.扭转时的变形

等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移) j 来度量。 Me g A D B C Me j ???d?T?dxGIp由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭转角)为 l的两横截面之间的相对扭转角j为

???d???l 可知，杆的相距

Tdx0GIpl

??TlGIp当等直圆杆相距l的两横截面之间，扭矩T及材料的切变模量G为常量时有Ⅱ. 刚度条件

??[??]?max式中的许可单位长度扭转角[j']的常用单位是(°)/m。此时，等直圆杆在扭转时

TmaxGI?的刚度条件表示为：p

对于精密机器的轴[j']≈0.15~0.30 (°)/m；对于一般的传动轴[j']≈2 (°)/m。

180?[??]π

思考：从图a所示受扭圆杆中取出的分离体如图b所示。根据横截面上切应力沿直径CD的分布规律，由切应力互等定理可知径向截面ABCD上沿圆轴的半径方向亦有如图所示分布的切应力。试问此径向截面上切应力所构成的合力偶矩是与什么力偶矩平衡的？

第四章 弯曲应力

(2) 梁的基本形式

悬臂梁 简支梁 外伸梁 梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图 Ⅰ. 梁的剪力和弯矩

图a所示跨度为l的简支梁其约束力为

FA?F?l?a?Fa, FB?ll

梁的左段内任一横截面m－m上的内力，由m－m左边分

离体(图b)的平衡条件可知：

FS?FA?

F?l?a?F?l?a?,M?FAx?xll

为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横截面上的

剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如图。

解：1. 列剪力方程和弯矩方程

当求悬臂梁横截面上的内力(剪力和弯矩)时，若取包含自由端截面的一侧梁段来计算，则可

FS(x)

M?x?不求出约束力。

距右端为x的任意横截面上的剪力FS(x)和弯矩M(x)，根据截面右

侧梁段上的荷载有 FS?x??qx?0?x?l?xqx2M?x???qx???22?0?x?l?

Ⅲ. 弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用

M(x), FS(x)与q(x)间微分关系的导出

从图a所示简支梁的有分布荷载的区段内，取出长为dx的梁段，如图b所示。这里分布荷

载的集度q(x)以向上为正值，且略去荷载集度在微量dx范围内的变化。梁的微段其左、右横截面上的剪力和弯矩均为正值。 由梁的微段的平衡方程

?Fy?0及?MC?0得

?Fy?0FS?x???FS?x??dFS?x???q?x?dx?0

从而得：

dFS?x??q?x?dx

?MC?02?M?x??dM?x???M?x??FS?x?dx?q?x?dx?dx?0

dx?dM?x???FS?x??q?x?dx??2?得dx略去二阶无穷小项?

d2M?x??q?x?2由以上两个微分关系式又可得dx

应用这些关系时需要注意，向上的分布荷载集度为正值，反之则为负值。 常见荷载下FS，M图的一些特征

q?0 q?c?0(向下）q?c?0(向上） FS?cx?b(c?0) FS?cx?b(c?0) FS?c 1M?cx2?bx?d(c?0)2 1M?cx2?bx?d(c?0)2 M?cx?b