知识、考点、题型篇 - 练透高考必会题型（理）

知识、考点、题型篇——练透高考必会题型（理）

7．函数f(x)＝ex－ln(x＋1)的单调递增区间是________．

1

8．已知函数f(x)＝mx2＋ln x－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为________．

2112

9．设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.若f(x)在(，＋∞)上存在单调递增区间，则a的取值范围为________．

32310．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)·ex(x∈R，e为自然对数的底数)． (1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；

(2)函数f(x)是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由． ln x＋a1

11．已知函数f(x)＝(a∈R)，g(x)＝.(1)求f(x)的单调区间与极值；

xx

(2)若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．

12．(2014·大纲全国)函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(1,2)是增函数，求a的取值范围．

第16练 函数的极值与最值

[内容精要] 本部分内容为导数在研究函数中的一个重要应用，在高考中也是重点考查的内容，多在综合题中的某一问中考查，要求熟练掌握函数极值与极值点的概念及判断方法，极值和最值的关系． [典例剖析]

题型一 函数极值与极值点的判断、求解问题

例1 (2013·浙江)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则( ) A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值 B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值 C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值 D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值 题型二 根据函数的极值来研究函数图象问题

例2 已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c等于( ) A．－2或2 B．－9或3 C．－1或1 D．－3或1 题型三 函数的极值问题

mx

例3 已知函数f(x)＝2(m，n∈R)在x＝1处取得极值2.(1)求函数f(x)的解析式；

x＋n

a7

(2)设函数g(x)＝ln x＋，若对任意的x1∈R，总存在x2∈[1，e]，使得g(x2)≤f(x1)＋，求实数a的取值范围．

x2题型四 函数的最值问题

1

例4 已知函数f(x)＝x2＋ln x.(1)求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值、最小值；

22

(2)求证：在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方．

3[精题狂练]

1．(2014·课标全国Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )

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A．p是q的充分必要条件 B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 exe2

2．(2013·辽宁)设函数f(x)满足xf′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，则x＞0时，f(x)( )

x8

2

A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值 a

3．(2014·江西)在同一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图象不可能的是( ) ．．．2

b≥a，??

4．设变量a，b满足约束条件?a＋3b≤4，

??a≥－2.

1m

z＝|a－3b|的最大值为m，则函数f(x)＝x3－x2－2x＋2的极小值等

316

4119

于( ) A．－ B．－ C．2 D.

366

5．已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点x1，x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是( ) 333

A．[－，3] B．[，6] C．[3,12] D．[－，12]

222

??f?x?，f?x?≤K，ln x＋1

6．设函数y＝f(x)在(0，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝?若函数f(x)＝，ex?K，f?x?>K，?

且恒有fK(x)＝f(x)，则( )

11

A．K的最大值为 B．K的最小值为 C．K的最大值为2 D．K的最小值为2

ee7．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是________．

8．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]有极大值又有极小值，则a的取值范围是________． 1

9．若函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________________．

210．(2014·保定模拟)设函数f(x)＝ex－ax－2.(1)求f(x)的单调区间；

(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值． 11．(2014·湖南)已知常数a>0，函数f(x)＝ln(1＋ax)－

2x

.(1)讨论f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性； x＋2

(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，且f(x1)＋f(x2)>0，求a的取值范围．

ex2

12．(2014·山东)设函数f(x)＝2－k(＋ln x)(k为常数，e＝2.718 28?是自然对数的底数)．

xx

(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围．

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第17练 导数的综合应用

[内容精要] 在高考中，函数与导数的综合解答题基本上每年都有，其分值比重占的也比较高，所以做好函数与导数解答题非常重要．试题多以函数知识为载体，主要考查利用导数研究函数的性质，充分体现导数的工具性． [典例剖析]

题型一 利用导数研究函数图象

1

例1 函数f(x)＝x2sin x＋xcos x的图象大致是( )

2

题型二 利用导数研究函数的零点或方程的根

1

例2 设函数f(x)＝x3－ax2－ax，g(x)＝2x2＋4x＋c.(1)试判断函数f(x)的零点个数；

3(2)若a＝－1，当x∈[－3,4]时，函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，求c的取值范围． 题型三 导数在实际问题中的应用

例3 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为

80π

立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平3

方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元． (1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r. [精题狂练]

1．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

2.若函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能为( )

1－x1

3．已知a≤＋ln x对任意x∈[，2]恒成立，则a的最大值为( )A．0 B．1

x2C．2 D．3

4．已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是( )

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A．0

5．已知a为常数，函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点x1，x2(x1

1111

A．f(x1)>0，f(x2)>－ B．f(x1)<0，f(x2)<－ C．f(x1)>0，f(x2)<－ D．f(x1)<0，f(x2)>－

2222

6．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是( )

7．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．

139

8．某名牌电动自行车的耗电量y与速度x之间有如下关系：y＝x3－x2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应

32定为________．

9．把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为________． 10．(2013·重庆)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

11．(2013·江苏)已知函数f(x)＝ex＋ex，其中e是自然对数的底数．(1)证明：f(x)是R上的偶函数；

－

(2)若关于x的不等式mf(x)≤ex＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；

－

3

(3)已知正数a满足：存在x0∈[1，＋∞)，使得f(x0)

－1

与ae

－1

的大小，并证明你的结

论．

12．(2013·陕西)已知函数f(x)＝ex，x∈R.(1)若直线y＝kx＋1与f(x)的反函数的图象相切，求实数k的值； (2)设x>0，讨论曲线y＝f(x)与曲线y＝mx2(m>0)公共点的个数；

第18练 存在与恒成立问题

[内容精要] “存在”与“恒成立”两个表示范围的词语在题目问法中出现是近年高考的一大热点，其本质是“特称”与“全称”量词的一个延伸，弄清其含义，适当进行转化来加以解决． [典例剖析]

题型一 不等式的恒成立问题

例1 已知函数f(x)＝ax－1－ln x，a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，对?x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围． 题型二 存在性问题

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