(完整版)全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)

AB+AC＝2AE AE＝（a+b）/2 BE=(a-b)/2 应用：

1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全

等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA

的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系； （2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你

在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

B

B M

E E D F F D

P O

解：（1）FE与FD之间的数量关系为FE?FD （2）答：（1）中的结论FE?FD仍然成立。 证法一：如图1，在AC上截取AG?AE，连结FG ∵?1??2，AF为公共边， ∴?AEF??AGF

∴?AFE??AFG，FE?FG

∵?B?60?，AD、CE分别是?BAC、?BCA的平分线 ∴?2??3?60?

∴?AFE??CFD??AFG?60? ∴?CFG?60?

∵?3??4及FC为公共边 ∴?CFG??CFD ∴FG?FD ∴FE?FD

证法二：如图2，过点F分别作FG?AB于点G，FH?BC于点H ∵?B?60?，AD、CE分别是?BAC、?BCA的平分线 ∴可得?2??3?60?，F是?ABC的内心 ∴?GEF?60???1，FH?FG 又∵?HDF??B??1

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图①

N

A

图② (第23题图)

C

A 图③

C B E F 1 2 A G 图 1

3 4 D C B E 1 2 图 2 G F 4 3 C D H A ∴?GEF??HDF ∴可证?EGF??DHF ∴FE?FD 五、旋转

例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形AABG

则GE=GB+BE=DF+BE=EF 又AE=AE，AF=AG，

所以三角形AEF全等于AEG

B所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF

又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90 所以∠EAF=45度

DFEC例2 D为等腰Rt?ABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

(1)当?MDN绕点D转动时，求证DE=DF。 (2)若AB=2，求四边形DECF的面积。

解：(计算数值法)（1）连接DC，

D为等腰Rt?ABC斜边AB的中点，故有CD⊥AB，CD＝DA CD平分∠BCA＝90°，∠ECD＝∠DCA＝45° 由于DM⊥DN，有∠EDN＝90° 由于 CD⊥AB，有∠CDA＝90° 从而∠CDE＝∠FDA＝

故有△CDE≌△ADF（ASA） 故有DE=DF （2）S△ABC=2, S

四DECF

= S△ACD=1

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例3 如图，?ABC是边长为3的等边三角形，?BDC是等腰三角形，且?BDC?120，以D为顶点做一个60角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则?AMN的周长为 ；

00

解：(图形补全法, “截长法”或“补短法”, 计算数值法) AC的延长线与BD的延长线交于点F，在线段CF上取点E，使CE＝BM

∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°， ∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°， ∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°， 又∵BM=CE，BD=CD， ∴△CDE≌△BDM，

∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，

∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°， ∵在△DMN和△DEN中， DM=DE

∠MDN=∠EDN=60° DN=DN

∴△DMN≌△DEN， ∴MN=NE

∵在△DMA和△DEF中， DM=DE

∠MDA=60°- ∠MDB=60°- ∠CDE=∠EDF (∠CDE=∠BDM) ∠DAM=∠DFE=30° ∴△DMN≌△DEN (AAS)， ∴MA=FE

?AMN的周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6

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应用：

1、已知四边形ABCD中，AB?AD，BC?CD，AB?BC，∠ABC?120，

o∠MBN?60o，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）

于E，F．

当∠MBN绕B点旋转到AE?CF时（如图1），易证AE?CF?EF．

当∠MBN绕B点旋转到AE?CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

A A A

E M E M B B B

C F D N

C F D N

F C N

（图3）

D

（图1） （图2）

E M

解：（1）∵AB?AD，BC?CD，AB?BC，AE?CF ∴?ABE??CBF（SAS）； ∴?ABE??CBF，BE?BF ∵?ABC?120?，?MBN?60?

∴?ABE??CBF?30?，?BEF为等边三角形 ∴BE?EF?BF，CF?AE?∴AE?CF?BE?EF （2）图2成立，图3不成立。

证明图2，延长DC至点K，使CK?AE，连接BK 则?BAE??BCK

∴BE?BK，?ABE??KBC ∵?FBE?60?，?ABC?120? ∴?FBC??ABE?60? ∴?FBC??KBC?60? ∴?KBF??FBE?60?

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1BE 2A B E M

K C

F D

N 图 2