高考数学一轮复习 等差数列学案(含解析)苏教版必修5

等差数列

【考点1】等差数列的定义

（1）等差数列的定义：数列?an?中，若an?1，对n?N?都成立，则?an?d（常数）

数列?an?叫等差数列，常数d叫等差数列的公差．等差数列的通项公式为

an?a1?(n?1)d

通项公式推广：an?am?(n?m)d

例1已知等差数列{an}中，a15?33,a45?153，试问217是否为此数列的项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由．

【点拨】判断某个数值是否为某数列中的项，基本的思路是先得到这个数列的通项公式，再验证这个数值是否为其中的某项．

【解析】法一：由通项公式，得 ??a15?a1?14d?33?a45?a1??23， ∴???a1?44d?153?d?4an?a1?(n?1)d?4n?27, 由217?4n?27，解得n?61．∴217是此数列的

第61项．

法二：由等差数列性质得a45?a15?30d?153?33，即d?4,又

an?a15?(n?15)d， ∴217?33?4(n?15), 得n?61．∴217是此数列的第61

项．

法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列的图象是一些共线的点，∵点P（15,33）, ∴（45,153）, R（n,217）在同一条直线上，∴ 217是此数列的第61项． 【答案】第61项．

【小结】在解决等差数列、等比数列的有关问题时，要熟悉其基本概念，基本公式及性质．

1．等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝5，如果an＝2013，则序号n等于 ． 【解答过程】

解析：由a1＝3，d＝5可得通项公式an＝a1＋（n－1）d＝3＋5（n－1）＝5n－2，由5n－2＝2013，得n＝403．

153?33217?153，得n?61．∴?45?15n?45

【考点2】等差数列的判定方法及分类

（1）等差数列的判定方法：

①定义法：an?1?an?d??an?是等差数列；

*②中项公式法：2an?1?an?an?2（n?N）??an?是等差数列；

③通项公式法：an?pn?q??an?是等差数列；

2④前n项和公式法：Sn?An?Bn（A,B,为常数）??an?是等差数列．

⑤设｛an｝是等差数列，数列｛

Sn｝是等差数列． n（2）等差数列的分类：当d?0时，{an}是递增数列；当d?0时，{an}是递减数列；当d?0时，{an}是常数列．

?2n?2n?1an?例2已知数列?an?满足a1?1,an?1??n?N?，证明数列?a?是等差数列．

an?2n?n?an?1an2n?1ann?1?【点拨】对an?1?左右两边同除以得，然后倒置得2n?1nn2an?2an?22n?12n??1，移项根据等差数列的定义判别． an?1an?2n?an?1an2n?12n2n?12n【解析】由已知可得n?1?，所以即∴数列????1，??1，n2an?2an?1anan?1an?an?是公差为1的等差数列．

【小结】本题考查倒置法构造等差数列．

练习1：已知数列?an?中，a1?1,an?1?【解题过程】

2ann?N??，则an等于 ． ?an?2【解析】本题考查取倒数法构造等差数列间接求得数列?an?的通项公式，从而求得a5的值．由an?1?2an2an111111?1????,??????是以1为首项，以得

an?2an?1an?2an2an?1an2?an?11n?121?1??n?1???,?an?为公差的等差数列．?． an22n?12例3数列?an?满足a1?4，an?4?列并试证明．

【点拨】利用等差数列的定义，an?4?【解析】∵ bn?1?bn?4代入bn?1?bn证得． an?141（n≥2），设bn=，判断数列?bn?是否为等差数an?1an?21an11??，∴ 数列?bn?是公差为的等差数列．

22an?4an?22【小结】本题考查等差数列的定义．

练习1：在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2，设bn＝【解答过程】

an＋12an＋2an

【解析】由已知an＋1＝2an＋2，得bn＋1＝n＝＝n－1＋1＝bn＋1．∴bn＋1－bn＝1，又n

222

n

n

n

an

n－1．证明：数列{bn}是等差数列． 2

b1＝a1＝1．∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．