备战2017年高考高三数学一轮热点难点一网打尽 专题14 导数法妙解极值、最值问题 Word版含解析

类型五、构造函数把不等式恒成立问题转化为求最值问题

【例9】【2017广西南宁高三模拟】已知函数f(x)?x?lnx,g(x)?x2?ax． （1）求函数f(x)在区间?t,t?1?(t?0)上的最小值m(t)； （2）令hx()?gx()f?(x,)Ax(,hx(,)(1Bx,(hx1)点，且满足

22(x1?x2)是函数h(x)图象上任意两

h(x1)?h(x2)?1,求实数a的取值范围；

x1?x2a?g(x)成立，求实数a的最大值． x（3）若?x?(0,1]，使f(x)?【答案】（1）当0?t?1时，m(t)?1；当t?1时，m(t)?t?lnt.（2）a?22?2（3）1.

（2）

h(x)?x2?(a?1)x?lnx,对于任意的x1,x2?(0,??)，不妨取x1?x2，则x1?x2?0,

h(x1)?h(x2)?1,可得h(x1)?h(x2)?x1?x2， 变形得h(x1)?x1?h(x2)?x2恒则由

x1?x2成立，

令F(x)?h(x)?x?x2?(a?2)x?lnx，则F(x)?x2?(a?2)x?lnx在(0,??)上单调递增，

故F?(x)?2x?(a?2)?立.

11?0在(0,??)恒成立， ?2x??(a?2)在(0,??)恒成xx?2x?1?22，当且仅当x?2时取\?\，?a?22?2. x2（3）?f(x)?a?g(x)， ?a(x?1)?2x2?xlnx. x2x2?xlnx?x?(0,1]，?x?1?(1,2]，??x?(0,1]使得a?成立.

x?1

2x2?3x?lnx?12x2?xlnx令t(x)?，则t?(x)?，

(x?1)2x?11(x?1)(4x?1)?0 可得x?或x??1（舍）

4x11当x?(0,)时y??0，则y?2x2?3x?lnx?1在(0,)上单调递减；

4411当x?(,??)时y??0，则y?2x2?3x?lnx?1在(,??)上单调递增.

441?y?ln4??0?t?(x)?0在x?(0,1]上恒成立.?t(x)在(0,1]上单调递增.

8令y?2x2?3x?lnx?1，则由y???a?t(1)，即a?1. ?实数a的最大值为1.

【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法

(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解. 方法、规律归纳:

1、判断函数极值时要注意导数为0的点不一定是极值点，所以求极值时一定要判断导数为0的点左侧与右侧的单调性，然后根据极值的定义判断是极大值还是极小值．

2、求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得． 实战演练:

1．【2017江苏泰兴中学高三月考】若点P是曲线y＝x－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为（ ）

A．1 B．2 C．【答案】B

2

2 D．3 2

y?x3?2．【2017江西省新余市第一中学高三开学考试】若函数则该函数在上的最小值是（ ）

32x?a2在上有最大值3，

11 A．2 B．0 C． 2 D．1

?【答案】C

2?y?3x?3x?3x?x?1??0，解得x?1或x?0，y??0，解得0?x?1，所以【解析】

当x???1,1?时，?-1,0?函数增，?0,1?函数减，所以当x?0时，函数取得最大值f?0??a?3，

y?x3?32151x?3f??1??f?1??f??1??2，2．选C。 22，所以最小值是，x2f?(x)?xf(x)?lnx,f(e)?1e，则下列结论正确?3．设f(x)为函数f(x)的导函数，已知的是 （ ）

)单调递增 （B）f(x)在(0,??)单调递减 （A）f(x)在(0,??)上有极大值 （D）f(x)在(0,??)上有极小值 （C）f(x)在(0,??【答案】D

4. 【2017广东省惠州市高三第一次调研考试】函数f(x)?3x?4x,x?[0,1]的最大值是（ ）

31 A．2 B．-1 C．0 D．1

【答案】D

【解析】

f'?x??3?12x?311?4x??2x??2?,所以当0?x?11?x?12时f'?x??0；当2

时

f'?x??0f?x?,

?在

?1??0,??2?上单调

3递增,在

?1??,1??2?上单调递

减．?f?x?max1?1??1??f???3??4????12?2??2?．

5．【2017山东莱芜高三阶段测试】已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导函数为f′(x)，当

x∈(－∞，0]时，恒有xf′(x)F(2x－1)的实数x的

取值范围是( )

1???1?A．(－1,2) B.?－1，? C.?，2? D.(－2,1)

2???2?

【答案】A

【解析】由F(x)＝xf(x)，得F′(x)＝f(x)＋xf′(x)＝xf′(x)－f(－x)<0，所以F(x)在(－∞，0]上单调递减，又可证F(x)为偶函数，从而F(x)在上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是( )

A．20 B.18 C．3 D.0

【答案】A

f(x)?7．【2017江苏泰兴中学高三月考】已知函数13x?a2x2?ax?b3，当x??1时函数

7f(x)的极值为12，则f(2)? ．

?【答案】【

5 3解

析

】

f(x)?

1317x?a2x2?ax?b?f'?x??x2?2a2x?a?f'??1??0?a???f??1???3212131215x?x?x?1?f?2??3423 ?b??1?f(x)?2MNy?3lnx?x8．已知点M在曲线上，点N在直线x?y?2?0上，则的最小值