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【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】
第14讲 导数法妙解极值、最值问题
考纲要求:
1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多
项式函数不超 过三次).
2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)． 基础知识回顾: 1、求函数的极值
（1）设函数y?f(x)在x?x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的值都大（小），则称f(x0)是函数y?f(x)的一个极大（小）值。 （2）求函数的极值的一般步骤
先求定义域D,再求导，再解方程f(x)?0（注意和D求交集），最后列表确定极值。
11一般地，函数在f(x)点x0连续时，如果x0附近左侧f(x)>0，右侧f(x)<0，那么f(x0)是11极大值。一般地，函数在f(x)点x0连续时，如果x0附近左侧f(x)<0，右侧f(x)>0，那
1么f(x0)是极小值。
（3）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
'（5）一般地，连续函数f(x)在点x0处有极值 是f(x0)=0的充分非必要条件。
（6）求函数的极值一定要列表。 2、用导数求函数的最值
（1）设y?f(x)是定义在闭区间?a,b?上的函数，y?f(x)在?a,b?内有导数，可以这样求最值：
①求出函数在?a,b?内的可能极值点（即方程f/(x)?0在?a,b?内的根x1,x2,?,xn）； ②比较函数值f(a)，f(b)与f(x1),f(x2),?,f(xn)，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
（2）如果是开区间(a,b)，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。 应用举例
类型一、知图判断函数极值
【例1】【2017山东省枣庄八中高三月考】 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 【答案】D
【例2】【2017北京市高三入学定位考试】已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B
【解析】由函数极值的定义和导函数的图象可知，f′(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f(x)的极值点，其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个． 类型二、正向思维已知解析式求极值或最值
【例3】【2017山东济南市高三摸底考试】设函数f(x)＝aln x－bx(x＞0)，若函数f(x)在x1?1?＝1处与直线y＝－相切，(1)求实数a，b的值； (2)求函数f(x)在?，e?上的最大值．
2?e?a＝1，??
【答案】?1
b＝.??2
2
1
；－. 2
点评：求函数f(x)在上的最大值和最小值3步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值；
(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；
(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
【例4】【2017江西吉安一中高三月考】已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值． 【答案】x＋y－2＝0.；（2）见解析；
a【解析】由题意知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
x
2
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x＞0)，因为f(1)＝1，f′(1)＝－1，
x
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2
＝0.
ax－a
(2)由f′(x)＝1－＝，x＞0知：
xx
①当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.
又当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值． 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln
a，无极大值．
类型三、逆向思维已知极值或最值求参数的值或范围
【例5】【2017安徽省合肥市高三模拟考试】已知f(x)＝x＋3ax＋bx＋a在x＝－1 时有极值0，则a－b＝________. 【答案】－7
??a2＋3a－b－1＝0，【解析】由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则?
?b－6a＋3＝0，???a＝2，
?
?b＝9，?
3
2
2
??a＝1，
解得?
?b＝3?
或
经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满
足题意，故a－b＝－7.
1322
【例6】【2017河北省沧州市高三月考】若函数f(x)＝x＋x－在区间(a，a＋5)上存在最小
33值，则实数a的取值范围是( )
A．上的最大值和最小值．
95
【答案】a＝2，b＝－4，c＝5.；最大值为13，最小值为.
27
(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，解得x1＝－2
2，x2＝.
3
当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示： x f′(x) f(x) －3 8 (－3，－2) ＋ －2 0 13 ?－2，2? ??3??－ 2 30 95 27?2，1? ?3???＋ 1 4 95所以y＝f(x)在上的最大值为13，最小值为.
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