2018年海南省高考数学试卷（理科）（全国新课标）(2)

??(0,??2,?0)，??(0,?0,?2√3)，??(0,?2,?0)，??(2,?0,?0)， ????=(?2,?2,?0)，

设????=??????=(?2??,?2??,?0)，0

=(?2??,?2??,?0)?(?2,??2,?0)=(2?2??,?2??+2,?0)， 则平面??????的法向量为??=(1,?0,?0)， 设平面??????的法向量为??=(??,???,???)， 则????=(0,??2,??2√3)，

则???????=?2???2√3??=0，???????=(2?2??)??+(2??+2)??=0 令??=1，则??=?√3，??=即??=(

→

(??+1)√3

,??√3,?1)， 1???

(??+1)√3

， 1???

→

→

→

→

→

→→

→

→

→

→

→

→

∵ 二面角??????????为30°， ∴ cos30=

°

|??||??|

→→

?????

→→

==

√3

， 2√3， 2

即(??+1)√3

1???√(

??+1?√3)2+1+3×11???

解得??=或??=3（舍），

3

1

则平面??????的法向量??=(2√3,??√3,?1)， ????=(0,?2,??2√3)，

????与平面??????所成角的正弦值 sin??=|cos| =|

?2√3?2√3

|4×4

→

→

→

→

=

4√316

=

√3． 4

试卷第9页，总11页

21.

【答案】

(1)证明：当??=1时，

??(??)≥1等价于(??2+1)??????1≤0， 设函数??(??)=(??2+1)??????1，

则??′(??)=?(??2?2??+1)?????=?(???1)2?????． 当??≠1时，??′(??)<0，

所以??(??)在(0,+∞)单调递减， 而??(0)=0，

故当??≥0时，??(??)≤0， 即??(??)≥1．

(2)解：设函数?(??)=1?????2?????． ??(??)在(0,+∞)只有一个零点

当且仅当?(??)在(0,+∞)只有一个零点． (i）当??≤0时，?(??)>0，?(??)没有零点． (ⅱ)当??>0时，?′(??)=????(???2)?????． 当??∈(0,2)时，?′(??)<0； 当??∈(2,+∞)时，?′(??)>0． 所以?(??)在(0,2)单调递减， 在(2,+∞)单调递增．

故?(2)=1???2是?(??)在[0,+∞)的最小值． ①若?(2)>0，即??<

??24

4??

，

?(??)在(0,+∞)没有零点； ②若?(2)=0，即??=

??24

，

?(??)在(0,+∞)只有一个零点； ③若?(2)<0，即??>

??24

，

由于?(0)=1，

所以?(??)在(0,2)有一个零点， 由(1)知，

当??>0时，????>??2， 所以?(4??)=1?

16??3??4??

=1?

16??3(??2??)2

>1?

16??3(2??)4

=1?>0，

??

1

故?(??)在(2,4??)有一个零点， 因此?(??)在(0,+∞)有两个零点．

综上，??(??)在(0,+∞)只有一个零点时，??=

??24

．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程] 22.

【答案】

解：(1)曲线??的参数方程为{

??=2cos??，（??为参数）

??=4sin??

试卷第10页，总11页

转换为直角坐标方程为：16+直线??的参数方程为{

??2

??24

=1．

??=1+??cos??，（??为参数） ??=2+??sin??

当cos??≠0时，??的直角坐标方程为??=tan?????+2?tan??， 当cos??=0时，??的直角坐标方程为??=1. (2)把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：

(2+??sin??)2

16

+

(1+??cos??)2

4

=1，

整理得：(4cos2??+sin2??)??2+(8cos??+4sin??)???8=0， 则：??1+??2=?

8cos??+4sin??4cos2??+sin2??

，

由于(1,?2)为中点坐标，

①当直线的斜率不存时，??=1． ②当直线的斜率存在时，则：8cos??+4sin??=0， 解得：tan??=?2，

即：直线??的斜率为?2． [选修4-5：不等式选讲] 23.

【答案】

2??+4,??≤?1

当??＝1时，??(??)＝5?|??+1|?|???2|={2,?1

?2??+6,??≥2当??≤?1时，??(??)＝2??+4≥0，解得?2≤??≤?1， 当?1

∴ 5?|??+??|?|???2|≤1， ∴ |??+??|+|???2|≥4，

∴ |??+??|+|???2|＝|??+??|+|2???|≥|??+??+2???|＝|??+2|， ∴ |??+2|≥4，

解得??≤?6或??≥2，

故??的取值范围(?∞,??6]∪[2,?+∞)．

??1+??22

=0，

试卷第11页，总11页