2020年高考理科数学大一轮提分课后限时集训74 参数方程

参数方程 建议用时：45分钟

?x＝cos θ，

1．已知P为半圆C：?(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标

?y＝sin θ︵

为(1，0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均π为3.

(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M的极坐标； (2)求直线AM的参数方程． π

[解] (1)由已知，点M的极角为3， π

且点M的极径等于3， ?ππ?

故点M的极坐标为?3，3?.

??

?π3π?

?，A(1，0)． (2)由(1)知点M的直角坐标为?，

6??6故直线AM的参数方程为 ?π?

??6－1?t，x＝1＋???

(t为参数)． ?3π

??y＝6t

?x＝－4＋cos t，?x＝8cos θ，2．已知曲线C1：?(t为参数)，C2：?(θ为参数)．

?y＝3＋sin t?y＝3sin θ(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； π

(2)若C1上的点P对应的参数为t＝2，Q为C2上的动点，求PQ的中点M?x＝3＋2t，

到直线C3：?(t为参数)距离的最小值．

?y＝－2＋t

[解] (1)由C1消去参数t，得曲线C1的普通方程为(x＋4)2＋(y－3)2＝1.

1

x2y2

同理曲线C2的普通方程为64＋9＝1.

C1表示圆心是(－4，3)，半径是1的圆，C2表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．

π

(2)当t＝2时，P(－4，4)，又Q(8cos θ，3sin θ)． 3??

故M?－2＋4cos θ，2＋2sin θ?，

??又C3的普通方程为x－2y－7＝0，

5

则M到直线C3的距离d＝5|4cos θ－3sin θ－13| 5

＝5|3sin θ－4cos θ＋13|

4?5?

＝5|5sin(θ－φ)＋13|?其中φ满足tan φ＝3?.

??85

所以d的最小值为5.

3．在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为2

?x＝－2＋?2t，

(t为参数)，直线l与曲线C交于M，N. ?2

?y＝－4＋?2t

(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； (2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值． [解] (1)由ρsin2θ＝2acos θ，得ρ2sin2θ＝2aρcos θ， 即曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax；

2

?x＝－2＋?2t，π由?(t为参数)可知直线l过点(－2，－4)，且倾斜角为4，∴

2

??y＝－4＋2t

2

直线l的斜率等于1，∴直线l的普通方程为y＋4＝x＋2，即y＝x－2.

2

?x＝－2＋?2t，

(2)将直线l的参数方程?(t为参数)代入y2＝2ax得t2－2

2

?y＝－4＋?2t＋a)t＋8(4＋a)＝0.

设点M，N对应的参数分别为t1，t2，则有t1＋t2＝22(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)， ∵|MN|2＝|PM|·|PN|，∴(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1t2＝t1t2， 即8(4＋a)2＝5×8(4＋a)．解得a＝1(舍去a＝－4)．

4．(2019·南昌模拟)在平面直角坐标系xOy中，将曲线C1：x2＋y2＝1上的所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标伸长为原来的2倍后，得到曲线C2；在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程是ρ(2cos θ－sin θ)＝6.

(1)写出曲线C2的参数方程和直线l的直角坐标方程；

(2)在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离d最大，并求出d的最大值．

[解] (1)由题意知，曲线C2的方程为(

x2y2

)＋(2)＝1，其参数方程为3

2(4??x＝3cos φ?(φ为参数)．直线l的直角坐标方程为2x－y－6＝0. ??y＝2sin φ

(2)设P(3cos φ，2sin φ)，φ∈[0，2π)，则点P到直线l的距离d＝π??

4sin（－φ）－6??|23cos φ－2sin φ－6|?3?＝，

55

π

所以当sin(3－φ)＝－1时，d取得最大值25，

5π3

因为φ∈[0，2π)，所以φ＝6，则点P的坐标是(－2，1)．

3