线性代数与概率统计及答案

(d)对任何n维非零向量X，均有AX?0 11. 设矩阵

?12??123??????34??456??????则下列矩阵运算中有意A=（1，2），B=，C

义的是（ ）

A．ACB B．ABC C．BAC D．CBA 12.设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是（D）

?A??A．??A??C．??????B?1?B?可逆，且其逆为?A?1????

?A??B．??A??D．???B??不可逆

??B??可逆，且其逆为

?????A?1?B?可逆，且其逆为?B?1????

?A?1??????1?B?

TT2????(1,?2,?2,?1),3??2??(1,?4,?3,0)13.已知向量，则???=（A）

T(0,?2,?1,1)A．

T(?2,0,?1,1)B.

C．

(1,?1,?2,0)T D．

(2,?6,?5,?1)T

14.设A和B为n阶方阵，下列说法正确的是（C）

A. 若AB?AC，则B?C B. 若AB?0，则A?0或B?0 C. 若AB?0，则A?0或B?0 D. 若A?E?0，则A?E6、设两事件A

二、填空题

1.设A为n阶方阵,I为n阶单位阵,且A2?I,则行列式A?_______

0ab2.行列式?a0c?_______

?b?c03.设A为5阶方阵，A*是其伴随矩阵，且A?3，则A*?_______

4.设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为_______ 三、计算题

1.解下列矩阵方程(X为未知矩阵).

?223??22??010??13????????20???1) ?1?10?X??32? ； 2) ?100?X? ???2?1??11??10???121??0?2??001?????????? ；?423???3) AX?A?2X,其中A??110???123???；

2.设A为n阶对称阵,且A2?0,求A.

?A1?12??34??00??12?3.设A1???,A3???,A4???,求?A?,A2??23000101?3????????A2??A4?.

?211??011?????4.设A??101?,B??121?,求非奇异矩阵C,使A?CTBC.

?110??110?????四、证明题

1. 设A、B均为n阶非奇异阵,求证AB可逆. 2. 设Ak?0(k为整数), 求证I?A可逆.

4. 设n阶方阵A与B中有一个是非奇异的,求证矩阵AB相似于BA. 5. 证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.

第三章 向量

一、单项选择题

1. ?1,?2,?3， ?1,?2都是四维列向量，且四阶行列式

?1?2?3?1?m,?1?2?3?2?n,则行列式

?1?2?3?1??2?()

(a)m?n (b)m?n (c)?m?n (d)?m?n

2. 设A为n阶方阵，且A?0,则（ ）。

(a)A中两行（列）对应元素成比例 (b)A中任意一行为其它行的线性组合 (c)A中至少有一行元素全为零 (d)A中必有一行为其它行的线性组合

3. 设A为n阶方阵，r(A)?r?n，则在A的n个行向量中（ ）。

(a)必有r个行向量线性无关

(b)任意r个行向量线性无关

(c)任意r个行向量都构成极大线性无关组

(d)任意一个行向量都能被其它r个行向量线性表示 4. n阶方阵A可逆的充分必要条件是（ ）

(a)r(A)?r?n

(b)A的列秩为n

（c）A的每一个行向量都是非零向量 （d）A的伴随矩阵存在

5. n维向量组?1,?2,...,?s线性无关的充分条件是( )

(a)?1,?2,...,?s都不是零向量

(b)?1,?2,...,?s中任一向量均不能由其它向量线性表示

(c)?1,?2,...,?s中任意两个向量都不成比例 (d)?1,?2,...,?s中有一个部分组线性无关

二、填空题

1. 若?1?(1,1,1)T，?2?(1,2,3)T，?3?(1,3,t)T线性相关，则t=▁▁▁▁。

2. n维零向量一定线性▁▁▁▁关。

3. 向量?线性无关的充要条件是▁▁▁▁。

4. 若?1,?2,?3线性相关，则?1,?2,...,?s(s?3)线性▁▁▁▁关。 5. n维单位向量组一定线性▁▁▁▁。

三、计算题

1. 设?1?(1??,1,1)T，?2?(1,1??,1)T，?3?(1,1,1??)T，

??(0,?,?2)，问

（1）?为何值时，?能由?1,?2,?3唯一地线性表示？

（2）?为何值时，?能由?1,?2,?3线性表示，但表达式不唯一？ （3）?为何值时，?不能由?1,?2,?3线性表示？

2. 设?1?(1,0,2,3)T，?2?(1,1,3,5)T，?3?(1,1,a?2,1)T，

T?4?(1,2,4,a?8)T，??(1,1,b?3,5)T问：

（1）a,b为何值时，?不能表示为?1,?2,?3,?4的线性组合？ （2）a,b为何值时，?能唯一地表示为?1,?2,?3,?4的线性组合？

3. 求向量组?1?(1,?1,0,4)T，?2?(2,1,5,6)T，?3?(1,2,5,2)T，

?4?(1,?1,?2,0)T，?5?(3,0,7,14)T的一个极大线性无关组，

并将其余向量用该极大无关组线性表示。 四、证明题

1. 设?1??1??2,?2?3?2??1,?3?2?1??2，试证?1,?2,?3线性相关。 2. 设?1,?2,...,?n线性无关，证明?1??2,?2??3,...,?n??1在n为奇数时线性无关；在n为偶数时线性相关。

第四章 线性方程组

一、单项选择题

1．设n元齐次线性方程组AX?0的系数矩阵的秩为r，则AX?0有非零解的充

分必要条件是（ ）

(A) r?n (B) r?n