选修4-4高考题及答案

(2013辽宁，理23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，

?cos????=22. 4???π?(1)求C1与C2交点的极坐标；

(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ

?x?t3?a,的参数方程为??b3(t∈R

?y?t?1?2为参数)，求a，b的值．

解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，

直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.

?x2??y?2?2?4,?x?0,解?得?1?y1?4,?x?y?4?0?x2?2, ??y2?2.π?π??C2交点的极坐标为?，4,22,????. 24????所以C1与

注：极坐标系下点的表示不唯一．

(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0. 由参数方程可得y??b?1,??2所以?

??ab?1?2,??2babx??1. 22解得a＝－1，b＝2.

（2009全国新课标23） 已知曲线C1：?C2：??x?8cos?,（?y?3sin?,??x??4?cost, （t

?y?3?sint,为参数），

为参数）。

（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若C1上的点P对应的参数为t??，Q为C2上的动点，

2求PQ中点M到直线

?x?3?2t, C3:?y??2?t? （t为参数）距离的最小值。

22x2y2（Ⅰ）C1:(x?4)?(y?3)?1,C2:??1.

649C1为圆心是（?4,3)，半径是

1的圆.

x轴上，长半轴长是8，

C2为中心是坐标原点，焦点在

短半轴长是3的椭圆.

（

P(?4Ⅱ

?Q,故4?）

)?当

3M.?2t??2时

8?，

?cos ?(C3为直线x?2y?7?0,M到C3的距离d?5|4cos??3sin??13|. 5从而当cos??4385,sin???时，d取得最小值.555

（2010全国二 23）已知直线C1??y?tsin??x?cos?C2?（?y?sin???x?1?tcos?（t为参数），

为参数），

（Ⅰ）当?=时，求C1与C2的交点坐标；

（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为，P为OA中点，当?变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。 （Ⅰ）当

???3?3时，C1的普通方程为y?3(x?1)，C2的普通方程为

??y?3(x?1) x2?y2?1。联立方程组?22??x?y?1?13?????2，?。 2??，解得C1与C2的交点为（1,0）

（Ⅱ）C1的普通方程为xsin??ycos??sin??0。 A点坐标为?sin2??cos?sin??，

故当?变化时，P点轨迹的参数方程为：

12?x?sin???2?为参数? ???y??1sin?cos???2P

1?1?2x??y???416。 ??点轨迹的普通方程为

11?，0?，半径为

4?4?2故P点轨迹是圆心为??的圆。

（2010全国一23）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为

?x?2cos?（?为参数） ??y?2?2sin?M是C1上的动点，P(Ⅰ)求C2的方程

uuuvuuuv点满足OP?2OM,P

点的轨迹为曲线C2

(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线??与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为

?3B，求AB.

解析:（I）设P(x,y),则由条件知M(上，所以

xy,22).由于M点在C1

?x??2cos?,???2???y??2?2sin???2????x?4cos???? y?4?4sin??? 即

从而C2的参数方程为

?x?4cos?（?为参数） ?y?4?4sin??（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为??4sin?，曲线C2的极坐标方程为

??8sin?。

射线??与C1的交点A的极径为?1?4sin，

3?3?3?射线??与C2的交点B的极径为?2?8sin。

3?所以|AB|?|?2??1|?23. （2012全国一

?x?2cos?23）已知曲线C1的参数方程是?(?为参数)，

y?3sin??以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是??2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,（1）求点A,B,C,D的直角坐标； （2）设P为C1上任意一点，求PA2?

【解析】（1）点A,B,C,D的极坐标为(2,?3),(2,5?4?11?),(2,),(2,) 636PB?PC?PD222?3)

的取值范围。

点A,B,C,D的直角坐标为(1,3),(?3,1),(?1,?3),(3,?1)