新高考数学（理）之立体几何与空间向量 专题11 高考中的常考题型（解答题）（解析版）

uuuruur0，1)，CB=(1，2，0)， ∴CD=(2，uuur??2a?c?0?n?CD?0bc)，∴?uur设平面BCD的法向量为n?(a，，，∴?，

a?2b?0???n?CB?0?1，?4)， 令a=2，则b=-1，c=-4，∴平面BCD的法向量n?(2，uuruuruurn?EB21uur=?2，0)，∴cos?n?EB??又∵平面CDC1的法向量为EB=(0，．

21|n||EB|由图可得二面角B-CD-C1为钝角，所以二面角B-CD-C1的余弦值为?21． 21?1，?4)，∵G（0，2，1）（3）由（2）知平面BCD的法向量为n?(2，，F（0，0，2），

uuuruuuruuur?2，1)，∴n?GF??2，∴n与GF不垂直，∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内， ∴GF=(0，∴GF与平面BCD相交．

2.如图，在三棱锥A?BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD． 求证：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC．

【解析】（1）在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF?AD，所以EF∥AB． 又因为EF?平面ABC，AB?平面ABC，所以EF∥平面ABC．

（2）因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABDI平面BCD=BD，BC?平面BCD，BC?BD，

所以BC?平面ABD．

因为AD?平面ABD，所以BC?AD．

又AB⊥AD，BCIAB?B，AB?平面ABC，BC?平面ABC，所以AD⊥平面ABC， 又因为AC?平面ABC，所以AD⊥AC．

3.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=3，?BAD?120?． （1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A1D-A的正弦值．

13

【解析】在平面ABCD内，过点A作AE?AD，交BC于点E． 因为AA1?平面ABCD，所以AA1?AE，AA1?AD．

uuuruuuruuur如图，以{AE,AD,AA1}为正交基底，建立空间直角坐标系A-xyz．

因为AB=AD=2，AA1=3，?BAD?120?．

则A(0,0,0),B(3,?1,0),D(0,2,0),E(3,0,0),A,3)． 1(0,0,3),C1(3,1

uuuruuuur（1）A,?3),AC1?(3,1,3)， 1B?(3,?1uuuruuuuruuuruuuurA1B?AC1(3,?1,?3)?(3,1,3)1ruuuur???． 则cosA1B,AC1?uuu77|A1B||AC1|因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为

uuur（2）平面A1DA的一个法向量为AE?(3,0,0)．设m?(x,y,z)为平面BA1D的一个法向量，

1． 7uuur?uuuruuur?m?A1B?0,??3x?y?3z?0, r又A即?,?3),BD?(?3,3,0)，则?uuu1B?(3,?1??m?BD?0,???3x?3y?0.不妨取x=3，则y?3,z?2，所以m?(3,3,2)为平面BA1D的一个法向量，

uuuruuurAE?m(3,0,0)?(3,3,2)3r??， 从而cosAE,m?uuu4|AE||m|3?4设二面角B-A1D-A的大小为?，则|cos?|?因为??[0,?]，所以sin??1?cos2??3． 477．因此二面角B-A1D-A的正弦值为． 444.如图，在斜三棱柱ABC?A1B1C1中，?A1AB??A1AC,AB?AC,A1A?A1B?a，

14

侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120，E、F分别是棱B1C1、A1A的中点.

（Ⅰ）求A1A与底面ABC所成的角； （Ⅱ）证明：A1E∥平面B1FC；

（Ⅲ）求经过A1、A、B、C四点的球的体积. 【解析】（Ⅰ）过A1作A1H?平面ABC，垂足为H．

连结AH，并延长交BC于G，于是?A1AH为A1A与底面ABC所成的角． ∵?A1AB??A1AC，∴AG为?BAC的平分线．又∵AB?AC， ∴AG?BC，且G为BC的中点．因此，由三垂线定理A1A?BC．

∵A1A//B1B，且EG//B1B，∴EG?BC． 于是?AGE为二面角A?BC?E的平面角，

?即?AGE?120． 由于四边形A1AGE为平行四边形，得?A1AG?60．

?第4题图

?（Ⅱ）证明：设EG与B1C的交点为P，则点P为EG的中点．连结PF． 在平行四边形AGEA1中，因F为A1A的中点，故A1E//FP．

而FP?平面B1FC，A1E?平面B1FC，所以A1E//平面B1FC．

（Ⅲ）连结A1C．在?A1AC和?A1AB中，由于AC?AB，?A1AB??A1AC，A1A?A1A，则?A1AC≌?A1AB，故A1C?A1B．由已知得A1A?A1B?A1C?a．又∵A1H?平面ABC，∴H为?ABC的

外心．

设所求球的球心为O，则O?A1H，且球心O与A1A中点的连线OF?A1A．在Rt?A1FO中，

1aA1F34433a332R?aV??R??aA1O???．故所求球的半径，球的体积． ?3327cosAA1Hcos303

5. 如图：三棱台ABC?A1B1C1中，侧棱CC1⊥底面ABC，

?ACB?120?，AC?a,BC?2a，B1C1?a，

直线AB1与CC1所成的角等于60°． （1）求证：A1C1//平面B1AC；

（2）求二面角B1?AC?B的大小的正切值； （3）求点B到平面B1AC的距离．

【解析】（1）由已知三棱台ABC?A1B1C1可得A1C1//AC，并且

A1C1B1CA第5题图1

BAC11?面B1AC，

15

所以有A1C1//平面B1AC

（2）【分析】无论从已知（直线AB1与CC1所成的角等于60°）的角度还是从所求（二面角B1?AC?B）的角度，过B1作CC1的平行线都是当然之举．

【解析】在平面B1C1CB中，过B1作B1D//C1C交CB于点D，连接AD，则?ADB1就是直线AB1与CC1所成的角．所以，?ADB1?60?．

又因为CC1⊥底面ABC，所以，在平面ABC内过点D作DE?AC于E，连B1E，B1D⊥底面ABC．则B1E?AC，所以，?B1ED就是二面角B1?AC?B的平面角．

在?ACD中，AD?AC?CD?2AC?CDcos120??3a．

22A1C1HDB1在Rt?AB1D中，B1D?AD?cot60??a． 在Rt?CED中，DE?CE?sin60??3a． 2ECA

在Rt?EB1D中，tan?B1ED?a3a2?23． 3第5题图2

B(3)由D为BC中点，故点B到平面B1AC的距离等于点D到平面B1AC的距离的2倍，作DH?B1E于H．由（1）知AC?面B1ED，所以，AC?DH，

所以，DH?面B1AC，所以，DH就是点D到平面B1AC的距离． 在Rt?EB1D中，DH?DE?DB1?EB1DE?DB1DE2?DB12?21a． 7所以，点B到平面B1AC的距离等于

221a．另外，我们也可以用体积法求出这个距离． 7设点B到平面B1AC的距离为h．则由VB1?ACB?VB?ACB1及

11?133?VB1?ACB?S?ABC?B1D???AC?BC?sin?ACB??B1D?a，

33?26?S?ACB1?1172AC?B1E?AC?ED2?B1D2?a可得： 224h?3VB?ACB1S?ACB1?33a3?6?221a．

77a24221a． 7所以，点B到平面B1AC的距离等于

16