高考数学考纲解读与热点难点突破专题09平面向量及其应用教学案文含解析8

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平面向量及其应用

【2019年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有：

平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级，只有平面向量的应用为A级要求，平面向量的数量积为C级要求，应特别重视．

试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与三角函数综合考查，构成中档题. 【重点、难点剖析】 1．向量的概念

(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为±. |a|(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．

(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量． (5)|b|cos〈a，b〉叫做b在向量a方向上的投影． 2．两非零向量平行、垂直的充要条件 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

(1)若a∥b?a＝λb(λ≠0)；a∥b?x1y2－x2y1＝0. (2)若a⊥b?a·b＝0；a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. 3．平面向量的性质

(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x＋y. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝2

2

a→x2－x1

2

＋y2－y1

2

.

a ·bx1x2＋y1y2

(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝2222. |a||b|x1＋y1x2＋y2

4．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向→→→

量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量MN＝ON－OM(其中O为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．

5．根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直，反之也成立．

6．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的

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情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线． 【题型示例】

题型一、平面向量的线性运算

【例1】（2018年全国卷Ⅱ）已知向量，满足A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】因为

，所以选B. ，

，则

【变式探究】【2017山东，文11】已知向量a=（2,6）,b=(?1,?) ,若a||b,则?? . 【答案】-3 【解析】由a||b可得

，且(a+b)?b，则m?（ ）

【变式探究】【2016高考新课标2文数】已知向量

（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8 【答案】D 【解析】向量

，由(a?b)?b得

，解得m?8，故选D.

→→

【举一反三】(2015·新课标全国Ⅰ，7)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则( ) 1→4→→→1→4→

A.AD＝－AB＋AC B.AD＝AB－AC

3333→4→1→

C.AD＝AB＋AC

33

→4→1→

D.AD＝AB－AC

33

→→→→→→→→→

解析 ∵BC＝3CD，∴AC－AB＝3(AD－AC)，即4AC－AB＝3AD， 1→4→→

∴AD＝－AB＋AC.

33答案 A

→→→→→→→

【变式探究】(2015·北京，13)在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则x＝________；

y＝________．

→→→1→1→1→1→→

解析 MN＝MC＋CN＝AC＋CB＝AC＋(AB－AC)

3232

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1→1→＝AB－AC， 2611∴x＝，y＝－.

2611答案 －

26

【变式探究】(1)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则

m＝( )

A．－2 B．－1 C．1

D．2

(2)设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.

【命题意图】(1)本题主要考查向量的运算、向量的夹角公式等基础知识，考查考生的计算能力、分析问题的能力和转化能力．

(2)本题主要考查向量的数量积等知识，意在考查考生对基础知识的理解和运用能力． 【答案】(1)D (2)±3

【感悟提升】

平面向量的运算主要包括向量运算的几何意义、向量的坐标运算以及数量积的运算律的应用等． (1)已知条件中涉及向量运算的几何意义应数形结合，利用平行四边形、三角形法则求解． (2)已知条件中涉及向量的坐标运算，需建立坐标系，用坐标运算公式求解． (3)解决平面向量问题要灵活运用向量平行与垂直的充要条件列方程．

(4)正确理解并掌握向量的概念及运算；强化“坐标化”的解题意识；注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用．

注意：在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中的已知向量进行计算．

12→→→

【变式探究】设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ

23为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

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2

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1

【答案】 2

1→2→121→→→1→2→1→2→→

【解析】如图，DE＝DB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC，则λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝.

232363632【规律方法】在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算类似于代数中合并同类项的→→→

运算，在计算时可以进行类比．本例中的第(1)题就是把向量DE用AB，AC表示出来，再与题中已知向量关系式进行对比，得出相等关系式，可求相应的系数． 题型二、平面向量的数量积

【例2】（2018年天津卷）在如图的平面图形中，已知

的值为

,

则

A. C.

B. D. 0

【答案】C

【解析】如图所示，连结MN， 由则

由题意可知：

，

结合数量积的运算法则可得：

.

本题选择C选项.

，

可知点，

分别为线段

上靠近点的三等分点，

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