(江苏专用)2020高考数学二轮复习专题三解析几何教学案

切，则DA－DC＝2.所以圆心D在以A，C为焦点的双曲线－＝1上，即14x－2y＝7.又

1722

??y＝x＋2，352

点D在直线l上，由?得12x－8x－15＝0，解得x＝或x＝－.所以xP＝2xDDD22

26?14x－2y＝7，?

x2y2

22

1

－xA＝2xD＋2＝5或xP＝.

3

法二：由题意可得A(－2，0)，设P(a，a＋2)，则AP的中点M?

?a－2，a＋2?，AP＝

2??2?

a－2?2?a＋2?2?|a＋2|?2?2（a＋2），故以AP为直径的圆M的方程为?x－＋?y－＝??.由题意2?2??????2?

2

得圆C与圆M相切(内切和外切)，故

22

?a－2－2?＋?a＋2?＝?2±|a＋2|?，解得a＝1?2??2???3?????2?

?1???. ，5或a＝5.故点P的横坐标的取值集合为?3?

?1?

答案：?，5?

?3?

x2y2

13．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于A，B两点．若△FABab的周长最大时，△FAB的面积为ab，则椭圆的离心率为________．

解析：设直线x＝m与x轴交于点H，椭圆的右焦点为F1，由椭圆的对称性可知△FAB的周长为2(FA＋AH)＝2(2a－F1A＋AH)，因为F1A≥AH，故当F1A＝AH时，△FAB的周长最大，

b??b??此时直线AB经过右焦点，从而点A，B坐标分别为?c，?，?c，－?，所以△FAB的面积为a??a??

12b12b222

·2c·，由条件得·2c·＝ab，即b＋c＝2bc，b＝c，从而椭圆的离心率为e＝. 2a2a2

答案：

2

2

2

2

2

2

2

2

22

14．已知A，B是圆C1：x＋y＝1上的动点，AB＝3，P是圆C2：(x－3)＋(y－4)＝1―→―→

上的动点，则|PA＋PB|的取值范围为________．

解析：因为A，B是圆C1：x＋y＝1上的动点，AB＝3，所以线段

2

2

AB的中点H在圆O：x2＋y2＝上，且|PA＋PB|＝2|PH|.因为点P3―3→22

是圆C2：(x－3)＋(y－4)＝1上的动点，所以5－≤|PH|≤5＋，22

7―→13―→―→―→

即≤|PH|≤，所以7≤2|PH|≤13，从而|PA＋PB|的取值范围是[7，13]． 22

答案：[7，13]

13

1

4

―→―→―→

B组——力争难度小题

1．(2019·苏锡常镇四市一模)若直线l：ax＋y－4a＝0上存在相距为2的两个动点A，

B，圆O：x2＋y2＝1上存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点)，则实数a的

取值范围为________．

解析：法一：根据题意得，圆O：x＋y＝1上存在点C，使得点C到直线l的距离为1，那么圆心O到直线l的距离不大于2，即

|4a|1＋a≤2，解得－233

≤a≤，于是a的取值范围33

2

2

是?－?

?33?，?. 33?

法二：因为△ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点)，所以点C在以AB为直径的圆上，记圆心为M，半径为1，且CM⊥直线l，又点C也在圆O：x＋y＝1上，所以C是两圆的交点，即OM≤2，所以dOM＝

|4a|1＋a≤2，解得－2

3333??

≤a≤，于是a的取值范围是?－，?. 333??3

2

2

答案：?－?

?33?，? 33?

x2y2

2．(2017·全国卷 Ⅰ )已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，

abb为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心

率为________．

解析：双曲线的右顶点为A(a，0)，一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，则圆心

baA到此渐近线的距离d＝abc|ba－a×0|ab＝.又因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin 22cb＋a60°＝，即3bab223

＝，所以e＝＝. 2c33

23

答案： 3

3．(2019·江苏泰州期末)在平面直角坐标系xOy中，过圆C1：(x－k)＋(y＋k－4)＝1上任一点P作圆C2：x＋y＝1的一条切线，切点为Q，则当|PQ|最小时，k＝________．

解析：由题意得，圆C1与圆C2外离，如图．因为PQ为切线，所以PQ⊥C2Q，由勾股定理，得|PQ|＝|PC2|－1，要使|PQ|最小，则需|PC2|最小．

显然当点P为C1C2与圆C1的交点时，|PC2|最小，

2

2

2

2

2

14

此时，|PC2|＝|C1C2|－1，所以当|C1C2|最小时，|PC2|就最小，|C1C2|＝k＋（－k＋4）＝2（k－2）＋8≥22，

当k＝2时，|C1C2|取最小值，即|PQ|最小． 答案：2

2

22

x2y2

4．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右支与

ab焦点为F的抛物线x＝2py(p>0)交于A，B两点．若AF＋BF＝4OF，则该双曲线的渐近线方程为________．

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知

2

pppAF＝y1＋，BF＝y2＋，OF＝，

2

2

2

由AF＋BF＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4OF＝2p，得y1＋y2＝p.

22

ppxy??2－2＝1，22222

联立?ab消去x，得ay－2pby＋ab＝0，

??x2＝2py，

2pb2pb所以y1＋y2＝2，所以2＝p，

2

2

22

aab21b2即2＝，故＝， a2a2

所以双曲线的渐近线方程为y＝±答案：y＝±

2

x 2

2

2

2x. 2

5．已知圆C：(x－2)＋y＝4，线段EF在直线l：y＝x＋1上运动，点P为线段EF上任―→―→

意一点，若圆C上存在两点A，B，使得PA·PB≤0，则线段EF长度的最大值是________．

解析：过点C作CH⊥l于H，因为C到l的距离CH＝

3

32

＝>2＝r，所以直线l与圆C22

―→―→―→―→

相离，故点P在圆C外．因为PA·PB＝|PA||PB|cos∠APB≤0，所以cos∠APB≤0，所π?π?以≤∠APB<π，圆C上存在两点A，B使得∠APB∈?，π?，由于点P在圆C外，故当PA，2?2?

22PB都与圆C相切时，∠APB最大，此时若∠APB＝，则PC＝2r＝22，所以PH＝PC－CHπ

2

＝

14?32?2

（22）－??＝2，由对称性可得EFmax＝2PH＝14.

?2?

2

答案：14

15

6．设抛物线x＝4y的焦点为F，A为抛物线上第一象限内一点，满足AF＝2，已知P为抛物线准线上任一点，当PA＋PF取得最小值时，△PAF外接圆的半径为________．

解析：由抛物线的方程x＝4y可知F(0，1)，设A(x0，y0)，又由AF＝2，根据抛物线的定义可知AF＝y0＋＝y0＋1＝2，解得y0＝1，代入抛物线的方程，可得x0＝2，即A(2，1)．如

2图，作抛物线的焦点F(0，1)，关于抛物线准线y＝－1的对称点F1(0，－3)，连接AF1交抛物线的准线y＝－1于点P，此时能使得PA＋PF取得最小值，此时点P的坐标为(1，－1)，在△PAF中，AF＝2，PF＝PA＝5，

（5）＋（5）－23

由余弦定理得cos∠APF＝＝，

52×5×54

则sin∠APF＝.设△PAF的外接圆半径为R，

5由正弦定理得2R＝

55＝，所以R＝，

sin∠APF24

2

2

2

2

2

pAF5

即△PAF外接圆的半径R＝.

4

5答案： 4

第二讲 | 大题考法——直线与圆

题型(一) 直线与圆的位置关系 主要考查直线与圆的位置关系以及复杂背景下直线、圆的方程. [典例感悟]

[例1] 如图，在Rt△ABC中，∠A为直角，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1，1)在直线AC上，BC中点为M(2，0)．

(1)求BC边所在直线的方程；

(2)若动圆P过点N(－2，0)，且与Rt△ABC的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P

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