(江苏专用)2020高考数学二轮复习专题三解析几何教学案

（4k－km）km＋2.由直线l被两圆截得的弦长相等得1－d＝4－d，则d－d＝3，即－22

kk＋1k＋11

2

1

22

22

21

222

133133242

＝3，化简得m＝－2，则m＜－(m－1)，即3m＋8m－16＜0，所以－4＜m＜.

88k883

4??答案：?－4，? 3??

2．(2019·南京盐城一模)设M＝{(x，y)|3x＋4y≥7}，点P∈M，过点P引圆(x＋1)＋

2

y2＝r2(r＞0)的两条切线PA，PB(A，B均为切点)，若∠APB的最大值为，则r的值为________．

解析：由题意知点P位于直线3x＋4y－7＝0上或其上方，记圆(x＋1)＋y＝r(r＞0)|－3－7|

的圆心为C，则C(－1，0)，C到直线3x＋4y－7＝0的距离d＝＝2，连接PC，则PC≥2.22

3＋4

2

2

2

π3

θrπrr1?θ?设∠APB＝θ，则sin＝，因为θmax＝，所以?sin?＝＝＝，所以r＝1.

2?maxPCmin222PC3?

答案：1

3．(2019·苏北三市一模)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x＋y＋2mx－(4m＋6)y－4＝0(m∈R)与以C2(－2，3)为圆心的圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且满足x1－x2＝

2

y22－y1，则实数m的值为________．

2

2

2

2

解析：由题意得C1(－m，2m＋3)，C2(－2，3)．由x1－x2＝y2－y1，得x1＋y1＝x2＋y2，即

22222222

OA＝OB，所以△OAB为等腰三角形，所以线段AB的垂直平分线经过原点O，又相交两圆的圆

心连线垂直平分公共弦AB，所以两圆的圆心连线C1C2过原点O，所以OC1∥OC2，所以－3m＝－2(2m＋3),

答案：－6

4．(2019·常州期末)过原点O的直线l与圆x＋y＝1交于P，Q两点，点A是该圆与x轴负半轴的交点，以AQ为直径的圆与直线l有异于Q的交点N，且直线AN与直线AP的斜率之积等于1，那么直线l的方程为________．

解析：易知A(－1，0)．因为PQ是圆O的直径，所以AP⊥AQ.以AQ为直径的圆与直线l有异于Q的交点N，则AN⊥NQ，所以kAN＝－

1

2

2

解得m＝－6.

kNQ＝－1

kPO，又直线AN与直线AP的斜率之积等于

1，所以kANkAP＝1，所以kAP＝－kPO，所以∠OAP＝∠AOP，所以点P为OA的垂直平分线与圆O3??1

的交点，则P?－，±?，所以直线l的方程为y＝±3x.

2??2

答案：y＝±3x

5．(2018·南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：(x＋4)＋(y－a)＝16上的两个动点，且AB＝211.若直线l：y＝2x上存在唯一的一个点P，

5

2

2

―→―→―→

使得PA＋PB＝OC，则实数a的值为________．

解析：法一：设AB的中点为M(x0，y0)，P(x，y)，则由AB＝211，得CM＝16－11＝5，―→―→―→―→1―→22

即点M的轨迹为(x0＋4)＋(y0－a)＝5.又因为PA＋PB＝OC，所以PM＝OC，即(x0－x，

2

x0＝x－2，??a?2??2

y0－y)＝?－2，?，从而?a则动点P的轨迹方程为(x＋2)＋?y－2?＝5，又因为直2????y0＝y＋，?2?

?－4－a???2??

a?

线l上存在唯一的一个点P，所以直线l和动点P的轨迹(圆)相切，则解得a＝2或a＝－18.

法二：由题意，圆心C到直线AB的距离d＝16－11＝5，则AB中点

2＋（－1）

2

2

＝5，

M的轨迹方程为(x＋4)2＋(y－a)2＝5.由PA＋PB＝OC，得2PM＝OC，

―→―→

所以PM∥OC.如图，连结CM并延长交l于点N，则CN＝2CM＝25.故问

题转化为直线l上存在唯一的一个点N，使得CN＝25，所以点C到直线l的距离为|2×（－4）－a|

＝25，解得a＝2或a＝－18. 22

2＋（－1）

答案：2或－18

考点(三) 圆锥曲线的方程及几何性质 主要考查三种圆锥曲线的定义、方程及几何性质，在小题中以考查椭圆和双曲线的几何性质为主.

[题组练透]

―→―→―→―→―→

y2

1．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x－2＝1(b>0)经过点(3，4)，

b2

则该双曲线的渐近线方程是________．

y216

解析：因为双曲线x－2＝1(b>0)经过点(3，4)，所以9－2＝1(b>0)，解得b＝2，

bb2

即双曲线方程为x－＝1，其渐近线方程为y＝±2x. 2

答案：y＝±2x

6

2

y2

2．(2019·苏州期末)在平面直角坐标系xOy中，中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(－3，1)，则该双曲线的离心率为______．

y2x2

解析：由题意，设双曲线的方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)，由双曲线的一条渐近线过点

aba1222222

(－3，1)，得－＝－，可得9a＝b＝c－a，得10a＝c，所以可得该双曲线的离心率eb3

＝＝10.

答案：10

3．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y＝1的右准线与它的两条

3渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是________．

333??3

解析：由题意得，双曲线的右准线x＝与两条渐近线y＝±x的交点坐标为?，±?.

232??2不妨设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2， 则F1(－2，0)，F2(2，0)， 故四边形F1PF2Q的面积是 11

|F1F2|·|PQ|＝×4×3＝23. 22

答案：234.(2019·南通、扬州等七市一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2

cax2

2

＝2px(p＞0)的准线为l，直线l与双曲线－y＝1的两条渐近线分别交于A，B两点，AB＝

46，则p的值为________．

解析：抛物线y＝2px(p＞0)的准线为直线，l：x＝－，不妨令A点在第二象限，则直

2

2

x2

2

pp?1?pp??p2

线l与双曲线－y＝1的两条渐近线y＝±x分别交于点A?－，?，B?－，－?，则AB4?42?24??2

＝＝6，p＝26.

2

答案：26

[方法技巧]

应用圆锥曲线的性质的两个注意点

(1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．

(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．

x2

p 7

[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢

1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系 (1)平行?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0； (2)重合?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0； (3)相交?A1B2－A2B1≠0； (4)垂直?A1A2＋B1B2＝0. 2．直线与圆相交 (1)几何法

由弦心距d、半径r和弦长的一半构成直角三角形，计算弦长AB＝2r－d. (2)代数法

设直线y＝kx＋m与圆x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，M(x1，y1)，N(x2，y2)，将直线方程代入圆方程中，消去y得关于x的一元二次方程，求出x1＋x2和x1·x2，则MN＝1＋k·（x1＋x2）－4x1·x2. 3．判断两圆位置关系时常用几何法

即通过判断两圆心距离O1O2与两圆半径R，r(R>r)的关系来判断两圆位置关系． (1)外离：O1O2>R＋r； (2)外切：O1O2＝R＋r； (3)相交：R－r

4．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系

2

2

2

2

2

2

c(1)在椭圆中：a＝b＋c，离心率为e＝＝

a2

2

2

?b?1－??； ?a??b?1＋??. ?a?

2

2

c(2)在双曲线中：c＝a＋b，离心率为e＝＝

a2

2

2

x2y2b(3)双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率

aba的关系．

(二) 二级结论要用好

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