（江苏专用）2020高考数学二轮复习专题三解析几何教学案

B组——大题增分练

1．(2019·南通等七市二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋y＝1，

4

x2

2

x2y2

椭圆C2：2＋2＝1(a＞b＞0)，C2与C1的长轴长之比为2∶1，离心率相同．

ab(1)求椭圆C2的标准方程； (2)设P为椭圆C2上一点．

①射线PO与椭圆C1依次交于点A，B，求证：为定值；

②过点P作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，且直线l1，l2与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证：k1·k2为定值．

PAPB

解：(1)设椭圆C2的焦距为2c， 由题意，知a＝22，＝ca3222，a＝b＋c. 2

得b＝2，因此椭圆C2的标准方程为＋＝1.

82(2)证明：①1°当直线OP的斜率不存在时，

x2y2

PA2－1

PA＝2－1，PB＝2＋1，则＝＝3－22.

PB2＋1

2°当直线OP的斜率存在时，设直线OP的方程为y＝kx， 代入椭圆C1的方程，消去y，得(4k＋1)x＝4. 48222

所以xB＝xA＝2，同理xP＝2，

4k＋14k＋1

所以xP＝2xA，由题意，知xP与xA同号，xA，xB互为相反数， 所以xP＝2xA，xA＝－xB，

2

2

2

2

PA|xP－xA||xP－ xA|2－1

从而＝＝＝＝3－22.

PB|xP－xB||xP＋xA|2＋1

所以＝3－22，为定值．

②设P(x0，y0)，则直线l1的方程为y－y0＝k1(x－x0)， 即y＝k1x＋y0－k1x0，

记t＝y0－k1x0，则l1的方程为y＝k1x＋t，

49

PAPB代入椭圆C1的方程，消去y，得(4k1＋1)x＋8k1tx＋4t－4＝0， 因为直线l1与椭圆C1有且只有一个公共点，

所以Δ＝(8k1t)－4(4k1＋1)(4t－4)＝0，即4k1－t＋1＝0. 将t＝y0－k1x0代入上式，整理得，(x0－4)k1－2x0y0k1＋y0－1＝0. 同理可得，(x0－4)k2－2x0y0k2＋y0－1＝0，

所以k1，k2为关于k的方程(x0－4)k－2x0y0k＋y0－1＝0的两根，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

222

y20－1

从而k1·k2＝2. x0－4

122

又点P(x0，y0)在椭圆C2：＋＝1上，所以y0＝2－x0，

82412

2－x0－141

所以k1·k2＝2＝－，为定值．

x0－44

2.如图，在平面直角坐标系xOy中， 已知圆O：x＋y＝4，椭圆

2

2

x2y2

C：＋y2＝1，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆

4

x2

C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的

?6?另一交点为Q，其中D?－，0?.设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2. ?5?

(1)求k1k2的值；

(2)记直线PQ，BC的斜率分别为kPQ，kBC，是否存在常数λ，使得kPQ＝λkBC？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由；

(3)求证：直线AC必过点Q.

解：(1)设B(x0，y0)，则C(－x0，－y0)，＋y0＝1，

4因为A(2，0)，所以k1＝

，k2＝， x0－2x0＋2

x20

2

y0y0

12

1－x0

4y0y0y210

所以k1k2＝·＝2＝2＝－.

x0－2x0＋2x0－4x0－44(2)设直线AP方程为y＝k1(x－2)， 联立?

?y＝k1（x－2），?

??x＋y＝4，

2

2

2

2

2

2

消去y，得(1＋k1)x－4k1x＋4(k1－1)＝0， 2（k1－1）－4k1

解得xP＝，yP＝k1(xP－2)＝22，

1＋k11＋k1

2

50