当前位置：首页 > 圆锥曲线在平面内的统一方程
圆锥曲线在平面内的统一方程
圆锥曲线的一般方程
体现了圆锥曲线的普遍性质，
但同时包含了其退化形式，如圆、直线等。这里我们所要做的，是用能够体现圆锥曲线的三种形式（椭圆、双曲线、抛物线）的特征的参数（离心率、焦点、焦准距、倾斜角）在平面内表示出任意的圆锥曲线。
首先，需要用到圆锥曲线在极坐标系中的标准方程：
（e>0，p>0）
这个方程表示一个轴所在直线与极轴所在直线重合的圆锥曲线。其中极点为抛物线焦点，或椭圆左焦点，或抛物线右焦点。
这里我们规定其轴的方向向量
现在将方程对应的曲线绕极点逆时针旋转α弧度（0≤α<2π），此时方程变为：
，
与极轴的夹角对应为α。
，方向向右（即极轴的正方向），方便后文的解释说明.
展开方程，化简为
以极轴为原点，极轴为x轴正方向建立平面直角坐标系，则有ρcosθ=x，ρsinθ=y，代入方程，化简，得到如下方程：
横向平移g个单位，纵向平移h个单位，使圆锥曲线焦点从(0,0)平移到(g,h)，对应方程为：
以上所得方程即为圆锥曲线在平面内的统一方程（以e为离心率，p为焦点到准线距离）。 ①当e>1时，表示以F(g,h)为一个焦点，α为
与极轴（x轴正方向）所夹角的双曲线。
②当e=1时，表示以F(g,h)为焦点，α为与极轴所夹角的抛物线。
③当e<1时，表示以F(g,h)为一个焦点，α为与极轴所夹角的椭圆。
同时，我们也可以看到，当e=0时，方程表示点F(g,h)，这是圆锥曲线的一种退化形式。
分析这个方程，可以发现仅有五个参数（e、p、α、g、h），就可以在平面内表示任意圆锥曲线，这恰能说明平面内五点可以确定一个圆锥曲线（不包含其退化形式）。
此外，根据这个方程还可以推导出其他相关量。
如F(g,h)对应的准线方程：
所在直线方程：
本文作者：...共分享92篇相关文档
