2021高考数学一轮复习课后限时集训54直线与椭圆理

又A1(－2,0)，∴直线PA1的方程为y＝(x＋2)，与椭圆＋y＝1方程联立并整理得(m64－4m18－2m＋9)x＋4mx＋4m－36＝0，由－2＋x1＝2得x1＝2，

m＋9m＋9

2

2

2

2

2

mx2

22

－2－2m?6m?18－2m，26m?，同理可得N?2m，2?. 代入直线PA1的方程得y1＝2，即M?22??m＋9?m＋9m＋9??m＋1m＋1?→?9－3m6m→?m－3－2m?，2?因为Q(1,0)，所以QM＝?2，QN＝?2，2?， ??m＋9m＋9??m＋1m＋1?9－3m－2mm－36m由2·2＝2·2知，M，Q，N三点共线． m＋9m＋1m＋1m＋9

→→2

1．已知P(x0，y0)是椭圆C：＋y＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若PF1·PF2<0，

4则x0的取值范围是( )

2

2

2

2

22

x2

?2626?A.?－，?

3??3

C.?－

?2323?

B．?－，?

3??3

D．?－

?

?33?，? 33??

?66?，? 33?

→→22

A [由题意可知F1(－3，0)，F2(3，0)，则PF1·PF2＝(x0＋3)(x0－3)＋y0＝x0＋2626?x0?y－3<0.因为点P在椭圆上，所以y＝1－.所以x＋?1－?－3<0，解得－

433?4?

2

0

20

20

x20

2

?2626?

即x0的取值范围是?－，?.]

3??3

x2y2

2．已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3xab4

－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E5的离心率的取值范围是( )

A.?0，C.?

??3?? 2?

?3?B．?0，? ?4??3?D．?，1? ?4?

?3?

，1? ?2?

A [根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a＝4c2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝2≥，所以1≤b＜2，所以e＝＝2

5a3＋－4＝

3

1－.因为1≤b＜2，所以0＜e≤.] 42

|3×0－4×b|

b21－2

ab2

y2x2

3．已知A，B分别为椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)在x轴正半轴、y轴正半轴上的顶点，

ab221

原点O到直线AB的距离为，且|AB|＝7 .

7

(1)求椭圆C的离心率；

(2)直线l：y＝kx＋m与圆x＋y＝2相切，并与椭圆C交于M，N两点，若|MN|＝求k的值．

[解] (1)由|AB|＝a＋b＝7，

2

22

2

122

，7

ab221

＝，a＞b＞0，

7a2＋b2

计算得出a＝2，b＝3，则椭圆C的离心率为e＝

b21

1－2＝.

a2

2

2

yx??＋＝1，yx(2)由(1)知椭圆方程为＋＝1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则?43

43

??y＝kx＋m2

2

消去y得，(3k＋4)x＋6kmx＋3m－12＝0，直线l与椭圆相交，则Δ＞0，

即48(3k－m＋4)＞0，

6km3m－12

且x1＋x2＝－2，x1x2＝2.

3k＋43k＋4又直线l与圆x＋y＝2相切， 则

|m|

2

2

2

2

2

2

222

＝2，即m＝2(k＋1)．

k＋1

2

22

而|MN|＝1＋k·

2

2

x1＋x2

2

2

－4x1x2

1＋k·483k－m＋4＝ 2

3k＋4

1＋k·48k＋243·k＋3k＋2＝＝， 22

3k＋43k＋4122

又|MN|＝，

7

43·k＋3k＋2122所以＝， 2

3k＋47

即5k－3k－2＝0，解得k＝±1，且满足Δ＞0，故k的值为±1.

1．平行四边形ABCD内接于椭圆＋＝1，直线AB的斜率k1＝2，则直线AD的斜率k2

84

4

2

4

2

2

2

4

2

x2y2

等于( )

1A． 21C．－

4

1B．－

2D．－2

C [设AB的中点为G，则由椭圆的对称性知，O为平行四边形ABCD的对角线的交点，则GO∥AD.

??8＋4＝1，

设A(x，y)，B(x，y)，则有?xy??8＋4＝1，

1

1

2

2

2

2

22

x2y211

，

两式相减得

x1－x2

8

整理得即

x1＋x2

＝－

y1－y2

4

y1＋y2

x1＋x2y1－y2

＝－＝－k1＝－2，

2y1＋y2x1－x2

y1＋y21?x1＋x2，y1＋y2?， ＝－.又G?2?x1＋x24?2?

y1＋y2

－0

211

所以kOG＝＝－，即k2＝－，故选C.]

x1＋x244

－02

y2x2b222

2．过椭圆2＋2＝1(a>b>0)上的动点M作圆x＋y＝的两条切线，切点分别为P和Q，

ab3

直线PQ与x轴和y轴的交点分别为E和F，则△EOF面积的最小值为________．

b3

[设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 9a由题意知PQ斜率存在，且不为0，所以x0y0≠0，

则直线MP和MQ的方程分别为x1x＋y1y＝，x2x＋y2y＝.因为点M在MP和MQ上，所

33以有x1x0＋y1y0＝，x2x0＋y2y0＝，则P，Q两点的坐标满足方程x0x＋y0y＝，所以直线

333

b2b2

b2b2b2

b??b??PQ的方程为x0x＋y0y＝，可得E?，0?和F?0，?，

3?3x0??3y0?

1b所以S△EOF＝·|OE||OF|＝，

218|x0y0|因为by0＋ax0＝ab，by0＋ax0≥2ab|x0y0|，

22

22

22

22

224

b2

22

b4b3

所以|x0y0|≤，所以S△EOF＝≥，

218|x0y0|9aab当且仅当by＝ax＝

220

220

a2b2

2

时取“＝”，

b3

故△EOF面积的最小值为.] 9a