2021高考数学一轮复习课后限时集训54直线与椭圆理

课后限时集训54

直线与椭圆 建议用时：45分钟

一、选择题

x2y2

1．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )

m3

A．(1，＋∞) C．(3，＋∞)

B．(1,3)∪(3，＋∞) D．(0,3)∪(3，＋∞)

y＝x＋2，??22

B [由?xy＋＝1，??m3

得(3＋m)x＋4mx＋m＝0，

2

?3＋m≠0，?

由题意可知?2

??Δ＝4m－4m??m≠－3，

解得?

??m＜0或m＞1，

3＋m＞0，

又m＞0，且m≠3，

∴m＞1且m≠3.故选B.]

2．(2019·枣庄模拟)过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B54两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )

4A. 35C. 4

5B． 310D．

3

x2y2

B [由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立

xy??＋＝1，?54??y＝2x－2，

22

?54? 解得交点坐标为(0，－2)，?，?，不妨设A点的纵坐标yA＝－2，B点

?33?

4?5411?的纵坐标yB＝，∴S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×?－2－?＝.] 3?3322?

3．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )

A.＋y＝1

2

x2

B．＋＝1

33

x2y2

C.＋＝1 43

x2y2

D．＋＝1

54

x2y2

x2y2

C [设椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0)，则c＝1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭

abb232222222

圆交于A，B两点，且|AB|＝3，所以＝，b＝a－c，所以a＝4，b＝a－c＝4－1＝3，

a2

椭圆的方程为＋＝1.]

43

x2y2

x2y2

4．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标

ab是M(－4,1)，则椭圆的离心率是( )

1A. 2C.3 2

B．D．

2 25 5

C [设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yMb2b21

＝－2xM，代入k＝1，M(－4,1)，解得2＝，e＝aka4

2

2

1－??＝

?b?2

?a?

3

，故选C.] 2

πxy5．倾斜角为的直线经过椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，

4ab→→

且AF＝2FB，则该椭圆的离心率为( )

A.3 22 2

B．

2 33 3

2

2

C.D．

xy??2＋2＝1，

B [由题意可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得?ab??y＝x－c，

2

2

2

4

∴(b2

＋a)y＋2bcy－b＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ＞0.设A(x1，

??

y)，B(x，y)，则?－byy＝??a＋b，

1

2

2

4

12

2

2

－2bcy1＋y2＝22，a＋b2

??

∴－y＝2y，可得?－b－2y＝，??a＋b1

2

4

2

2

22－2bc－y2＝22，

a＋b2

→→

又AF＝2FB，∴(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，

14c2∴＝2，故选B.] 2，∴e＝2a＋b3

2

二、填空题

6．过椭圆C：＋＝1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A，B两点，

43则

1＋等于________． |AF||BF|

4

[由题意可知F(－1,0)，故l的方程为y＝3(x＋1)． 31

x2y2

??y＝3x＋1，由?x2y2

＋＝1，??43

82

得5x＋8x＝0，∴x＝0或－.

5

33??8

∴A(0，3)，B?－，－?.

5??56

又F(－1,0)，∴|AF|＝2，|BF|＝，

5∴

14＋＝.] |AF||BF|31

7．已知椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆交于点A，B，当△FAB的周长最

43大时，△FAB的面积是________．

3 [如图，设椭圆的右焦点为E，连接AE，BE.由椭圆的定义得，△FAB的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|＝|AB|＋(2a－|AE|)＋(2a－|BE|)＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|.∵|AE|＋|BE|≥|AB|，∴|AB|－|AE|－|BE|≤0，∴|AB|＋|AF|＋|BF|＝4a＋|AB|－

|AE|－|BE|≤4a.当直线AB过点E时取等号，此时直线x＝m＝c＝1，把x＝1代入椭圆＋

43

x2y2

x2y2

311

＝1得y＝±，∴|AB|＝3.∴当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是×3×|EF|＝×3×2

222＝3.]

x2y2

8．椭圆Γ：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(xab＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．

3－1 [直线y＝3(x＋c)过点F1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝3c，

2c2c所以该椭圆的离心率e＝＝＝3－1.]

2ac＋3c三、解答题

12

9.已知椭圆＋y＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对

22称，求实数m的取值范围．

1

[解] 由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.

x2

m??2＋y＝1，由?1

y＝－??mx＋b2

x2

消去y，得

?1＋12?x2－2bx＋b2－1＝0. ?2m?m??

1x422

因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b＋2＋2＞0.

m2m①

2

mb?1m＋2?2mb将线段AB中点?2，2?代入直线方程y＝mx＋，解得b＝－2.②

22m?m＋2m＋2?

由①②得m＜－

66

或m＞. 33

22

故m的取值范围为?－∞，－

??6??6??∪?，＋∞?. 3??3?

x2y23

10．(2019·合肥调研)已知椭圆C：2＋2(a＞b＞0)的离心率为，左、右顶点分别

ab2

是A1，A2，上顶点为B(0，b)，△A1A2B的面积等于2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点Q(1,0)，P(4，m)，直线PA1，PA2分别交椭圆C于点M，N，证明：M，Q，N三点共线．

[解] (1)由离心率为

3c3

得，＝，① 2a2

由△A1A2B的面积为2得，ab＝2.②

∵a＝b＋c③，联立①②③解得，a＝2，b＝1， ∴椭圆C的方程为＋y＝1. 4

(2)记点M，N的坐标分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)．

2

2

2

x2

2