例题 最大流的标号法

例题 最大流的标号法

例2用标号法求下图所示的公路交通网络的最大流量（要求写出标号过程并说明得到的的确是最大流），其中，弧旁的数字是（cij,fij）。 .

v2 （5,5） v5 （6,6） (2,2) （12,7） （15,7） vs （4,4） (4,4) vt (5,4) v4 (4,4) （9,9) (10,5) v3 (5,1) v6 解：

(1) 首先,给vs标上(0,??)

(2) 检查vs，给vs为起点的未饱和弧的未标号的终点v2标号(vs,l(v2)),其中

l(v2)?min[l(vs),cs2?fs2]?min[??,15?7]?8

其它点不符合标号条件。

(3) 检查v2，给v2为终点的非零流弧的未标号的起点v3标号(?v2,l(v3)),其中

l(v3)?min[l(v2),f32]?min[8,4]?4

其它点不符合标号条件。

(4) 检查v3，给v3为起点的未饱和弧的未标号的终点v4、v6标号(v4,l(v4))、(v6,

l(v6))其中，l(v4)?min[l(v3),c34?f34]?min[4,5?4]?1

l(v6)?min[l(v3),c36?f36]?min[4,5?1]?4

其它点不符合标号条件。

(5) 检查v6，给v6为起点的未饱和弧的未标号的终点vt标号(vt,l(vt))其中，

l(vt)?min[l(v6),c6t?f6t]?min[4,10?5]?4

其它点不符合标号条件。

由于vt已标号，反向搜索可得增广链??{(vs,v2),(v3,v2),(v3,v6),(v6,vt)}，在该增广链的前相弧(vs,v2),(v3,v6),(v6,vt)上增加l(vt)?4，在后向弧(v3,v2)上减去

l(vt)?4，其它弧上的流量不变，则可得一流量v(f)?20的新的可行流如下图。

v2 （5,5） v5 （6,6） (2,2) （12,7） （15,11）

vs （4,0） (4,4) vt (5,4) v4 (4,4)

（9,9) (10,9) v3 (5,5) v6

重新开始标号：

(6) 首先,给vs标上(0,??)

(7) 检查vs，给vs为起点的未饱和弧的未标号的终点v2标号(vs,l(v2)),其中

l(v2)?min[l(vs),cs2?fs2]?min[??,15?11]?4

其它点不符合标号条件。

(8) 检查v2，没有以v2为起点的未饱和弧的未标号终点和以v2为终点的非零流弧的未标号起点，因此不能增加标号点，标号进行不下去了，所以该可行流必为最大流,最大流的流量为v(f)=20。

事实上，可令V1?{vs,v2},V1?{v3,v4,v5,v6,vt}，则最小截集(V1,V1)的截量

C(V1,V1)?cs3?c25?c24?9?5?6?20?v(f)。