切比雪夫I型IIR低通数字滤波器课程设计

1 数字滤波器的设计 1.1 设计流程图 读入数字滤波器的技术将指标转换成归一化模拟低通滤波设计归一化的模拟低通滤波器阶数N和3db截止频率 模拟低通滤波器指标转换成数字低通滤波器 指标 1.2 手工计算 1.2.1 设计要求

滤波器的设计指标要求为 (1) 通带截止频率 ??pc=(2) ???????≤

??????10(????)

20

????????20

πrad=0.8326rad ??pc=0.1326Hz

πrad=0.0723rad

(3)阻带截止频率??s =0.9049rad ??s=0.1441Hz

(3)滚降α=60dB，为方便计算，所以我设置：通带最大衰减????=1db ,阻带最小衰减????=61db

其中????为我编号的后四位。我的编号0201，所以????=201

1.2.2 数字边界频率转换成模拟边界频率

转换关系为：

Ω=??tan2ω 其中,令T=2s计算得 Ω??=1.099 rad/s Ω??=1.2729 rad/s ????=1db ????=61db λ=Ω??=1.1582

??

2??

Ω

1.2.3 设计低通切比雪夫I型低通滤波器

由公式得

1

??

?1

=√100.1?????1=2205.128

=15.1120≈16

100.1?????1

N=

??????????1???????λ

?=√100.1?????1=0.5088 ξ=16arsh∈=0.0893

由公式求出归一化极点 ，k=1,2,…，16. ????=-chξsin

(2???1)??16

1

1

+jchξcos

(2???1)??16?2

为方便计算，小数点后取两位

????(p)=0.5088?216?1∏161

??=1(???????)

将????(p)去归一化得： ????(??)=????(??)|??=???????

=??16+1.0020??15+5.3332??14+4.6028??13+11.5428??12+8.4512??11+13.0013??10+7.8952??9?

1

+8.1120??8+3.9454??7+2.7498??6+1.0105??5+0.4582??4+0.1139??3+0.0291??2+0.0037??+0.000310?3?0.2716

1.2.4 模拟低通滤波器转换为数字低通滤波器

经过查资料得，模拟低通滤波器转变为数字低通滤波器的方法有很多种，但工程上常用的是脉冲响应不变法和双线性变换法。而双线性变换法更适合设计片段常数滤波器低通滤波器就属于片段常数滤波器，因此我选择用双线性变换法。????=????|S=??(1+???1),考虑到计算复杂问题，我便用MATLAB的bilinear函数程序辅助计算得到系统函数为：

H(z)= (0.0001???1+0.0005???2+0.0022???3+0.0071???4+0.0171???5+0.0314???6) + (0.0449???7+0.0505???8+0.0449???9+0.0314???10+0.0171???11+0.071???12)+ (0.0022???13+0.0005???14+0.0001???15)/(1?4.6315???1+14.4191???2)? (32.9831???3+61.0573???4?94.3555???5+124.6373???6?142.3673???7)+ (141.5054???8?122.5568???9+92.1996???10?59.7568???11+32.8765???12?

2

2(1????1)

(14.9704???13+5.4030???14?1.4139???15+0.2195???16)

2 滤波器的不同结构对性能指标的影响

在理想状态下，对于同一个传递函数几乎对应着无数种等效结构，然而这些结构却并不一定都能实现。在无限参数字长的情况下，所有能实现传递函数的结构之间，其表现完全相同。

然而，在实际中，由于参数字长有限的限制，各实现结构的表现并不相同。下面我们就将对比直接型（包括直接I、II型）和级联型两种结构在本例中对性能指标的影响。

在MATLAB中可以利用FDATOOL工具箱构建不同类型的数字滤波器。参数如下：

den=[1,-4.6315,14.4191,-32.9831,61.0573,-94.3555,124.6373,-142.3613,141.5054,-122.5568,92.1996,-59.7568,32.8765,-14.9704,5.4030,-1.4139,0.2195]

num=[0.0000,0.0001,0.0005,0.0022,0.0071,0.0171,0.0314,0.0449,0.0505,0.0449,0.0314,0.0171,0.0071,0.0022,0.0005,0.0001,0.0000 ]

图2.1filter coefficients工具工作界面

2.1 利用直接型结构构建数字滤波器

图2.1.1Direct-Form II型结构的滤波器幅频响应图

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图2.1.2Direct-Form II型结构的滤波器幅频响应图

读图可以得Direct-Form II结构的滤波器技术指标（fs,fp单位为mHz； , ,单位为dB）如表1所示：

表1Direct-Form II结构滤波器对性能指标的影响

性能指标 初始设计指标(Hz) 0.1326 0.1441 61 1 Direct-Form II(Hz) 0.1039124 0.1427002 65.77987 3.999452

分析：由图2.1和表1可以看出，fs下降0.0013998Hz，fp下降了0.0286876，as上升了4.77987db，ap上升了2.999452db。阻带的幅频响应曲线更加陡峭，Direct-Form I造成性能指标的误差很大，不能忽略。

△(Hz) 0.0286876 0.0013998 -4.77987 -2.999452 |相对误差| 21.63% 0.97% 7.83% 299.94% ?s ?p 2.2 利用级联结构构建数字滤波器

选择Edit下拉菜单中点击 Convert to Second-order Sections选项，将构建好的Direct-Form II结构的切比雪夫I型IIR低通滤波器转换为级联滤波器，结果如图5所示。

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