2018年北京市西城区高考数学一模试卷(文科)

????，

所以 ????⊥平面??1????，

所以 平面??1????⊥平面??1????．

(Ⅲ)线段????上不存在点??，使得????⊥平面??????．

否则，假设线段????上存在点??，使得????⊥平面??????， 连接 ????，????，则必有 ????⊥????，且????⊥????．

在????△??1????中，由??为??1??的中点，????⊥????，得??为????的中点． 在△??????中，因为????⊥????，所以????=????， 这与????=1，????=√5矛盾！

所以线段????上不存在点??，使得????⊥平面??????．

【答案】

（本小题满分1

（1）设椭圆??的半焦距为??．依题意，得=√，????=2√2，且??2=??2+??2．[]

??2解得??=2，??=√2． 所以椭圆??的方程为

??24

??22

??

2+=1．[]

（2）“椭圆??上存在点??，使得∠??????=90°”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点??，使得?????????=0成立”．[]

依题意，??(2,?0)．设??(??,?0)，??(??,???)，则??2+2??2=4，[]

且(2???,????)?(?????,????)=0， 即(2???)(?????)+??2=(0)[] 将??2=

4???22→

→

代入上式，

4???22

得 (2???)(?????)+因为?2

2+??2

=0．[]

=0，

即??=2??+(2)[]

所以?2<2??+2<2， 解得?2

所以 点??横坐标的取值范围是(?2,?0)．[] 【考点】

椭圆的标准方程

直线与椭圆的位置关系 椭圆的应用

直线与椭圆结合的最值问题 【解析】

试卷第13页，总16页

(Ⅰ)设椭圆??的半焦距为??．利用止痛剂列出方程求解??=2，??=√2．即可求出椭圆方程．

(Ⅱ)“椭圆??上存在点??，使得∠??????=90°”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点??，使得?????????=0成立”．

设??(??,?0)，??(??,???)，则??2+2??2=4，且(2???,????)?(?????,????)=0，推出 (2???)(?????)+

4???22

→

→

=0．利用?2

【解答】

（本小题满分1

（1）设椭圆??的半焦距为??．依题意，得=√，????=2√2，且??2=??2+??2．[]

??

2??

2解得??=2，??=√2． 所以椭圆??的方程为

??24

+

??22

=1．[]

（2）“椭圆??上存在点??，使得∠??????=90°”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点??，使得?????????=0成立”．[]

依题意，??(2,?0)．设??(??,?0)，??(??,???)，则??2+2??2=4，[] 且(2???,????)?(?????,????)=0， 即(2???)(?????)+??2=(0)[] 将??=

2

4???22→

→

代入上式，

4???22

得 (2???)(?????)+因为?2

2+??2

=0．[]

=0，

即??=2??+(2)[]

所以?2<2??+2<2， 解得?2

所以 点??横坐标的取值范围是(?2,?0)．[] 【答案】

（本小题满分1

（1）??′(??)=?????(??+ln??)+???????=?????(??+??+ln??)．[] 依题意，有 ??′(1)=???(??+1)=??，[] 解得??=0．[]

（2）由(Ⅰ)得??(??)=?????(??+??+ln??)，

所以??′(??)=?????(??+??+ln??)+?????(?????2)=?????(??+?????2+ln??)．[] 因为????>0，所以??′(??)与??+?????2+ln??同号． 设?(??)=??+?????2+ln??，[] 则 ?(??)=

??2?2??+2

??32

1

2

1

1

1

1

2

1

1

1

1

=

(???1)2+1

??3

．

试卷第14页，总16页

所以对任意??∈(0,?+∞)，有?′(??)>0，故?(??)在(0,?+∞)单调递增．[] 因为??∈(0,?ln2)，所以?(1)=??+1>0，?(2)=??+ln2<0，

故存在??0∈(2,1)，使得?(??0)=0．[]??(??)与??′(??)在区间(2,1)上的情况如下： ?? ??′(??) ??(??) 11

1

1

1

1(,??0) 2- ↘ ??0 0 极小值 (??0,?1) + ↗ 所以??(??)在区间(2,??0)上单调递减，在区间(??0,?1)上单调递增． 所以若??∈(0,?ln2)，存在??0∈(2,1)，使得??0是??(??)的极小值点．[] 令?(??0)=0，得??+ln??0=

1?2??0

2??0

1

，

1?2??0

2??0

所以??(??0)=????0?(??+ln??0)=????0?【考点】

利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的最值

利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】

<0．[]

(Ⅰ)求出函数的导数，利用曲线??=??(??)在??=1处的切线与直线??=???垂直，列出方程即可求??的值；

(Ⅱ)由(Ⅰ)得??(??)=?????(??+??+ln??)，求出导函数，构造函数设?(??)=??+?????2+ln??利用函数的导数判断导函数的单调性以及函数的符号，求解函数的极值，转化求解即可． 【解答】

（本小题满分1

（1）??′(??)=?????(??+ln??)+???????=?????(??+??+ln??)．[] 依题意，有 ??′(1)=???(??+1)=??，[] 解得??=0．[]

（2）由(Ⅰ)得??(??)=?????(??+??+ln??)，

所以??′(??)=?????(??+??+ln??)+?????(?????2)=?????(??+?????2+ln??)．[] 因为????>0，所以??′(??)与??+?????2+ln??同号． 设?(??)=??+?????2+ln??，[] 则 ?(??)=

??2?2??+2

??32

1

2

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

2

1

??

=

(???1)2+1

??3

．

所以对任意??∈(0,?+∞)，有?′(??)>0，故?(??)在(0,?+∞)单调递增．[]

试卷第15页，总16页

因为??∈(0,?ln2)，所以?(1)=??+1>0，?(2)=??+ln2<0，

故存在??0∈(2,1)，使得?(??0)=0．[]??(??)与??′(??)在区间(2,1)上的情况如下： ?? ??′(??) ??(??) 11

1

1

1

1(,??0) 2- ↘ ??0 0 极小值 (??0,?1) + ↗ 所以??(??)在区间(2,??0)上单调递减，在区间(??0,?1)上单调递增． 所以若??∈(0,?ln2)，存在??0∈(2,1)，使得??0是??(??)的极小值点．[] 令?(??0)=0，得??+ln??0=

1?2??0

2??0

1

，

1?2??0

2??0

所以??(??0)=????0?(??+ln??0)=????0?

<0．[]

试卷第16页，总16页