(名师整理)最新人教版数学中考冲刺压轴题《四边形》专题训练(含答案解析)

（2）如图2中，在AD上取一点E，使得AE＝EC，连接EC．

∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠EAC＝∠BAC＝15°， ∵EA＝EC，

∴∠EAC＝∠ECA＝15°，

DE＝∴∠DEC＝∠EAC+∠ECA＝30°，设CD＝BD＝x，则EC＝EA＝2x，∵AD＝2+∴2x+

，

，

x，

x＝2+

∴x＝1， ∴BC＝2CD＝2，

∴S△ABC＝?BC?AD＝×2×（2+

（3）如图3中，不存在．

）＝2+

．

- 21 -

理由：∵点P关于AB，BC的对称点分别为M，N， ∴PB＝BM＝BN＝10，∠PBA＝∠ABM，∠PBC＝∠CBN， ∵∠ABC＝60°，

∴∠MBN＝2（∠ABP+∠PBC）＝120°，

∴△BNM是顶角为120°，腰长为10的等腰三角形， ∴MN为定值， ∵PM+PN≥MN，

∴当点P落在AB或BC上时，PM+PN＝MN＝定值，此时△∴△PMN的周长不存在最小值．

4．解：（1）结论：四边形PNQM是平行四边形． 理由：如图①中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，AD∥BC，∠A＝∠C＝90°， ∵点M，N分别是AD，BC的中点， ∴AM＝NC， ∵AE＝CF，

∴△EAM≌△FCN（SAS）， ∴∠AME＝∠CNF，

∵∠AME＝∠EMP，∠CNF＝∠FNQ， ∴∠AMP＝∠QNC，

PMN不存在， - 22 -

∵AD∥BC， ∴∠AQN＝∠CNQ， ∴∠AMP＝∠AQN， ∴PM∥QN， ∵MQ∥PN，

∴四边形PNQM是平行四边形． 故答案为平行四边形．

（2）成立．理由如下：

如图②中，延长NQ交AD的延长线于H．∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，AD∥BC，∠A＝∠C＝90°，∵点M，N分别是AD，BC的中点， ∴AM＝NC， ∴PM＝NQ， ∵AE＝CF，

∴△EAM≌△FCN（SAS）， ∴∠AME＝∠CNF，

∵∠AME＝∠EMP，∠CNF＝∠FNQ， ∴∠AMP＝∠QNC，

- 23 -

∵AD∥BC， ∴∠AHN＝∠CNH， ∴∠AMP＝∠AHN， ∴PM∥NH，

∴四边形PNQM是平行四边形．

（3）如图③中，连接MN，PQ交于点O，延长PQ交CD于H，延长AB于G．

∵四边形PNQM是菱形， ∴MN⊥PQ， ∵PQ∥AD∥BC，

∴AG＝DK＝OM＝AB＝AD＝1， ∵PM＝AM＝2， ∴sin∠MPO＝， ∴∠MPO＝30°， ∵∠EPM＝90°，

∴∠EPG＝90°﹣30°＝60° ∴OP＝

OM＝

，

∵OG＝2，

∴EG＝PG?tan60°＝2

﹣3，

QP交- 24 -