第73课时 离散型随机变量的分布列

高三理科数学第一轮复习讲义 第73课时

课题：离散型随机变量的分布列

教学目标：了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列 （一） 主要知识及主要方法：

1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母?、?等表示

2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变

量叫做离散型随机变量

若?是随机变量，??a??b，其中a、b是常数，则?也是随机变量

3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量

就叫做连续型随机变量

4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变

量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出

5.离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量?可能取的值为x1、x2、…、xi、…

?取每一个值xi?i?1,2,????的概率为P(??xi)?pi，则称表

? P x1 p1 x2 … … xi … pi … p2 为随机变量?的概率分布，简称?的分布列

6.离散型随机变量分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:0≤P(A)≤1，

并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：?1?pi≥0，i?1,2,…；?2?p1?p2?…?1

对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和.即P(?≥xk)?P(??xk)?P(??xk?1)????

7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，

在n次独立重复试验中这个事件发生的次数?是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

kkn?k,210,（k?3…， q?1?p） Pn(??k)?Cnpq，

于是得到随机变量?的概率分布如下： ? 0 1 … k … n 00n11n?1kkn?knn0P Cnpq Cnpq … Cnpq … Cnpq kkn?k由于Cnpq恰好是二项展开式

00n11n?1kkn?knn0(q?p)n?Cnpq?Cnpq???Cnpq???Cnpq 中的各项的值，所以称这样的随机变量?服从二项分布，

kkn?k记作??B?n,p?，其中n，p为参数，并记Cnpq＝b?k;n,p?．…

8.离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数?也是一个正整数的离散型随机变量．“??k”表示在第k次独立重复试验时

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事件第一次发生.如果把k次试验时事件A发生记为Ak、事件A不发生记为Ak，

p(Ak)?p， p(Ak)?q(q?1?p)，那么

P(??k)?P(A1A2A3?Ak?1Ak)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(Ak?1)P(Ak)?qk?1p(k?0,1,2,…， q?1?p)

于是得到随机变量?的概率分布如下： ? P 1 p 2 pq 3 … k … … q2p … qk?1p 称这样的随机变量?服从几何分布，

记作g(k,p) ?qk?1p，其中k?0,1,2,…，q?1?p

9.求离散型随机变量分布列的步骤：?1?要确定随机变量?的可能取值有哪些.明确取

每个值所表示的意义；?2?分清概率类型，计算?取得每一个值时的概率（取球、抽取产品等问题还要注意是放回抽样还是不放回抽样；?3?列表对应，给出分布列，并用分布列的性质验证.

10.几种常见的分布列的求法：?1?取球、投骰子、抽取产品等问题的概率分布，关键

是概率的计算.所用方法主要有划归法、数形结合法、对应法等对于取球、抽取产品等问题，还要注意是放回抽样还是不放回抽样.?2?射击问题：若是一人连续射击，且限制在n次射击中发生k次，则往往与二项分布联系起来；若是首次命中所需射击的次数，则它服从几何分布，若是多人射击问题，一般利用相互独立事件同时发生的概率进行计算.

?3?对于有些问题，它的随机变量的选取与所问问题的关系不是很清楚，此时要仔细审题，

明确题中的含义，恰当地选取随机变量，构造模型，进行求解.

（二）典例分析：

问题1．(06陕西)甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是

121、、. 352?1?略.?2?用?表示乙投篮3次的进球数,求随机变量?的概率分布及数学期望E?

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问题2．（05浙江）袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红

1，从B中摸出一个红球的概率为p． (Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸3出一个，有3次摸到红球即停止．（ⅰ）求恰好摸5次停止的概率；（ⅱ）记5次之内(含5次)摸到红球的次数为?，求随机变量?的分布率及数学期望E?．(Ⅱ)略.

球的概率是

问题3．某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进行

下一组练习，否则一直打完5发子弹后才能进行下一组练习.若该射手的射击命中率为0.8，求它在一组练习中所用子弹数目?的分布列

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问题4．从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产

品被抽到的可能性相同.在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数

?的分布列：?1?每次抽出的产品都不放回此批产品中；?2?每次抽出的产品都立即放回此

批产品中，然后再取出一件产品；?3?每次取出一件产品后总把一件合格品放回此批产品中.

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