《离散数学(第三版)》方世昌 的期末复习知识点总结复习进程

[复习知识点]

1、关系、关系矩阵与关系图 2、复合关系与逆关系

3、关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性） 4、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包） 5、等价关系与等价类

6、偏序关系与哈斯图（Hasse）、极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界

7、函数及其性质（单射、满射、双射） 8、复合函数与反函数

本章重点内容：二元关系的概念、关系的性质、关系的闭包、等价关系、半序关系、映射的概念 [复习要求]

1、理解关系的概念：二元关系、空关系、全关系、恒等关系；掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图、关系的运算。 2、掌握求复合关系与逆关系的方法。

3、理解关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性），掌握其判别方法（定义、矩阵、图）。

4、掌握求关系的闭包 （自反闭包、对称闭包、传递闭包）的方法。 5、理解等价关系和偏序关系的概念，掌握等价类的求法和偏序关系做哈斯图的方法，极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界的求法。 6、理解函数概念：函数、函数相等、复合函数和反函数。

7、理解单射、满射、双射等概念，掌握其判别方法。 [本章重点习题]

P25，1；P32~33，4，8，10； P43，2，3，5； P51~52，5，6； P59，1，2； P64，3； P74~75，2，4，6，7； P81，5，7； P86，1，2。 [疑难解析] 1、关系的概念

关系的概念是第二章全章的基础，又是第一章集合概念的应用。因此，学生应该真正理解并熟练掌握二元关系的概念及关系矩阵、关系图表示。 2、关系的性质及其判定

关系的性质既是对关系概念的加深理解与掌握，又是关系的闭包、等价关系、半序关系的基础。对于四种性质的判定，可以依据教材中P49上总结的规律。这其中对传递性的判定，难度稍大一点，这里要提及两点：一是不破坏传递性定义，可认为具有传递性。如空关系具有传递性，同时空关系具有对称性与反对称性，但是不具有自反性。另一点是介绍一种判定传递性的“跟踪法”，即若?a1,a2??R,?a2,a3??R,??,?ai?1,ai??R，则?a1,ai??R。如若

?a,b??R,?b,a??R，则有?a,a??R，且?b,b??R。

３、关系的闭包

在理解掌握关系闭包概念的基础上，主要掌握闭包的求法。关键是熟记三个定理的结论：定理2， r?R??R?IA；定理3， s?R??R?R?1；定理4，推论 t?R???Ri。

i?1n４、半序关系及半序集中特殊元素的确定

理解与掌握半序关系与半序集概念的关键是哈斯图。哈斯图画法掌握了，对于确定任一子集的最大（小）元，极大（小）元也就容易了。这里要注意，最大（小）元与极大（小）元只能在子集内确定，而上界与下界可在子集之外的全集中确定，最小上界为所有上界中最小者，最小上界再小也不小于子集中的任一元素，可以与某一元素相等，最大下界也同样。

５、映射的概念与映射种类的判定

映射的种类主要指单射、满射、双射与非单非满射。判定的方法除定义外，可借助于关系图，而实数集的子集上的映射也可以利用直角坐标系表示进行，尤其是对各种初等函数。 [例题分析]

例1 设集合A??a,b,c,d?，判定下列关系，哪些是自反的，对称的，反对称的和传递的：

R1???a,a?,?b,a??R5???a,c?,?b,d??R2???a,a?,?b,c?,?d,a??R3???c,d??R4???a,a,?,?b,b?,?c,c??解：均不是自反的；R4是对称的；R1 ,R2 ,R3 , R4 ,R5是反对称的；R1 ,R2 ,R3 , R4 ,R5是传递的。

1,2,3,4,5?，A上的二元关系R为 例2 设集合A?? R???1,1?,?2,2?,?3,3?,?3,4?,?4,4?,?5,3?,?5,4?,?5,5?? （１）写出R的关系矩阵，画出R的关系图； （２）证明R是A上的半序关系，画出其哈斯图；

（３）若B?A，且B??2,3,4,5?，求B的最大元，最小元，极大元，极小元，最小上界和最大下界。 解 （1）R的关系矩阵为

?1??0 MR??0??0?0?0000??1000?0110? R的关系图略

?0010?0111?? （2）因为R是自反的，反对称的和传递的，所以R是A上的半序关系。(A,R)为半序集， (A,R)的哈斯图如下

。4 。1 。3 。2 。5

(3) 当B??2,3,4,5?，B的极大元为2，4；极小元为2，5；B无最大元与最小元；B也无上界与下界，更无最小上界与最大下界。

第三章 命题逻辑

[复习知识点]

１、命题与联结词（否定、析取、合取、蕴涵、等价），复合命题

２、命题公式与解释，真值表，公式分类（恒真、恒假、可满足），公式的等价

３、析取范式、合取范式，极小（大）项，主析取范式、主合取范式 ４、公式类别的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法） ５、公式的蕴涵与逻辑结果 ６、形式演绎