高考数学一轮复习第八章几何第讲曲线与方程（理）习题创新

111212

则|MP|＝|OC|＝，得方程(x－)＋y＝，考虑轨迹的范围知0＜x≤1.

2224

12．(20152云南红河州毕业生复习统一检测)在直角坐标系xOy中，动点P与定点F(1,0)的距离和它到定直线x＝2的距离之比是(1)求动点P的轨迹Γ的方程； (2)设曲线Γ上的三点A(x1，y1)、B(1，2

)、C(x2，y2)与点F的距离成等差数列，线2

2

.导学号 25402142 2

段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k.

[答案] (1)＋y＝1 (2)2

2

?x－1?＋y2x[解析] (1)设P(x，y)．由已知，得＝，两边同时平方，化简得＋

|x－2|22

2

2

2

x2

2

y＝1，故动点P的轨迹Γ的方程是＋y2＝1.

2

(2)由已知得|AF|＝|CF|＝所以

22

(2－x1)，|BF|＝3(2－1)， 22

2

x2

2

(2－x2)．因为2|BF|＝|AF|＋|CF|， 2

222

(2－x1)＋(2－x2)＝233(2－1)， 222

所以x1＋x2＝2.①

故线段AC的中点坐标为(1，其垂直平分线的方程为y－

y1＋y2

22

)，

y1＋y2

＝－x1－x2

(x－1)．② y1－y2

因为A，C在椭圆上，所以代入椭圆，两式相减， 把①代入化简，得－

x1－x2

＝y1＋y2.③ y1－y2

11

把③代入②，令y＝0，得x＝，所以点T的坐标为(，0)．

222－02

所以直线BT的斜率k＝＝2.

11－2

B组 能力提升

1．(20152吉林市毕业班检测)设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都外切，则圆P的圆心轨迹可能是导学号 25402143( )

5

A．①②③⑤ C．①②④⑤ [答案] A

[解析] 当两定圆相离时，圆P的圆心轨迹为①；当两定圆外切时，圆P的圆心轨迹为②；当两定圆相交时，圆P的圆心轨迹为③；当两定圆内切时，圆P的圆心轨迹为⑤.

→→→

2．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)、B(－1,3)，若点C满足OC＝λ1OA＋λ2OB(O为原点)，其中λ1、λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是导学号 25402144( )

A．直线 C．圆 [答案] A

[解析] 设C(x，y)，

→→→

则OC＝(x，y)，OA＝(3,1)，OB＝(－1,3)，

??x＝3λ1－λ→→→

∵OC＝λ1OA＋λ2OB，∴?

?y＝λ1＋3λ?

2

B．②③④⑤ D．①②③④

B．椭圆 D．双曲线

2

，

又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．

3．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM1

＝AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M3的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是____________________.导学号 25402145

212

[答案] y＝x－

39

[解析] 过P作PQ⊥AD于Q，再过Q作QH⊥A1D1于H，连接PH、PM，可证PH⊥A1D1，设P(x，y)，由|PH|－|PM|＝1，

1222

得x＋1－[(x－)＋y]＝1，

3212

化简得y＝x－. 39

4．(20152山东实验中学第三次诊断)已知点A(－2,0)、B(2,0)，曲线C上的动点P满→→

足AP2BP＝－3.导学号 25402146

6

2

2

(1)求曲线C的方程；

(2)若过定点M(0，－2)的直线l与曲线C有公共点，求直线l的斜率k的取值范围； (3)若动点Q(x，y)在曲线C上，求u＝

y＋2

的取值范围． x－1

322

[答案] (1)x＋y＝1 (2)(－∞，－3]∪[3，＋∞) (3)(－∞，－]

4

→→

[解析] (1)设P(x，y)，AP2BP＝(x＋2，y)(x－2，y)＝x2－4＋y2＝－3，得P点轨迹(曲线C)方程为x＋y＝1，即曲线C是圆．

(2)可设直线l的方程为y＝kx－2，其一般方程为kx－y－2＝0. |0－0－2|由直线l与曲线C有交点，得≤1，得k≤－3或k≥3，

k2＋1即所求k的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)． (3)由动点Q(x，y)，设定点N(1，－2)， 则直线QN的斜率kQN＝2

2

y＋2

＝u， x－1

又点Q在曲线C上，故直线QN与圆有交点，设直线QN的方程为y＋2＝u(x－1)，即ux－y－u－2＝0.

|－u－2|3

当直线与圆相切时，＝1，解得u＝－. 4u2＋13

另当u不存在时，直线与圆相切，所以u∈(－∞，－]．

4

5．(20152东北三省三校第一次模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知动圆过点(2,0)，且被y轴所截得的弦长为4.导学号 25402147

(1)求动圆圆心的轨迹C1的方程．

(2)过点P(1,2)分别作斜率为k1、k2的两条直线l1、l2，分别交C1于A、B两点(点A、B122

异于点P)．若k1＋k2＝0，且直线AB与圆C2：(x－2)＋y＝相切，求△PAB的面积．

2

[答案] (1)y＝4x (2)42

???x－2?＋y＝r，

[解析] (1)设动圆圆心坐标为(x，y)，半径为r.由题可知?222

??2＋x＝r2

2

2

2

?y2

＝4x，∴动圆圆心的轨迹方程为y＝4x.

(2)设直线l1斜率为k，则l1：y－2＝k(x－1)，l2：y－2＝－k(x－1)． 点P(1,2)在抛物线y＝4x上，

??y＝4x，

由?

?y－2＝k?x－1?，?

2

2

2

得ky－4y＋8－4k＝0.

2

7

设A(x2

1，y1)，B(x2，y2)，Δ＞0恒成立，即(k－1)＞0，有k≠1， ∴y8－4k4－2k1yp＝k，∵yp＝2，∴y1＝k.

2

代入直线方程，得x?k－2?1＝k2

. 2

同理可得x?2＋k?4＋2k2＝k2，y2

＝－k， 4＋2k4－2ky2－y1

－k－kkAB＝x－x＝2

＝－1. 21?k＋2?－?k－2?2

k2不妨设lAB：y＝－x＋b.

∵直线AB与圆C相切，∴|2－b|2＝2

22，解得b＝3或1.

当b＝3时，直线AB过点P，舍去；

当b＝1时，由???y＝－x＋1，

2

?y2

＝6x＋1＝0.

?

4x

?x－Δ＝32，|AB|＝1＋1332＝8，

P到直线AB的距离d＝2，则△PAB的面积为42.

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