高2021届高2018级苏教版步步高大一轮高三数学复习课件学案第八章 8.7

答案 34

解析 ∵由双曲线的定义得 PF1－PF2＝PF2＝2a＝22, ∴PF1＝2PF2＝42, 则cos∠FPFPF21＋PF22－F1F2

2

12＝2PF1·PF2

?42?2＋?22?2－42＝3

2×42×22

＝4.

双曲线的标准方程

1.(2020·合肥调研)已知双曲线的渐近线为y＝±2

2x,实轴长为4,则该双曲线的方程为( A.x24－y2

2

＝1 x2y2y2x2

B.4－8＝1或4－8＝1 C.x24－y2

8

＝1 x2y2y2x2

D.4－2＝1或4－8＝1 答案 D

解析 设双曲线方程为x22m－y2

m＝1(m≠0),

又2a＝4,∴a2＝4, 当m＞0时,2m＝4,m＝2； 当m＜0时,－m＝4,m＝－4.

故所求双曲线方程为x2y24－2＝1或y2x2

4－8

＝1.

)

x2y25x2

2.(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C:2－2＝1(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为y＝x,且与椭圆ab212y2

＋＝1有公共焦点,则C的方程为( ) 3x2y2

A.－＝1 810x2y2

C.－＝1 54答案 B 解析 由y＝5b5x,可得＝.① 2a2

x2y2

B.－＝1 45x2y2

D.－＝1 43

x2y2

由椭圆＋＝1的焦点为(3,0),(－3,0),

123可得a2＋b2＝9.② 由①②可得a2＝4,b2＝5.

x2y2

所以C的方程为－＝1.故选B.

45

x2y2

3.过双曲线C:2－2＝1(a＞b＞0)的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以

abC的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的标准方程为( ) x2y2

A.－＝1 412x2y2

C.－＝1 88答案 A

b

解析 因为渐近线y＝x与直线x＝a交于点A(a,b),c＝4且?4－a?2＋b2＝4,解得a2＝4,b2＝

ax2y2

12,因此双曲线的标准方程为－＝1.

412

4.经过点P(－3,27)和点Q(－62,－7)的双曲线方程为________. y2x2

答案 －＝1

2575

解析 设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn＞0),

??9m－28n＝1，∴?解得?72m－49n＝1，?

x2y2

B.－＝1 79x2y2

D.－＝1 124

??1n＝－?25，

1m＝－，

75

y2x2

∴双曲线方程为－＝1.

2575

思维升华 求双曲线的标准方程的方法

(1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线定义,确定2a,2b或2c,从而求出a2,b2,写出双曲线方程.

(2)待定系数法:先确定焦点在x轴还是y轴,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即“先定型,x2y2

再定量”,如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为2－2＝λ(λ≠0),再根据条件求λ的值.

mn注意 ①双曲线与椭圆标准方程均可记为mx2＋ny2＝1(mn≠0),其中当m＞0,n＞0,且m≠n时表示椭圆；当mn＜0时表示双曲线,合理使用这种形式可避免讨论. ②常见双曲线设法

(i)已知a＝b的双曲线可设为x2－y2＝λ(λ≠0)； (ii)已知过两点的双曲线可设为Ax2－By2＝1(AB＞0)；

xyx2y2

(iii)已知渐近线为±＝0的双曲线方程可设为2－2＝λ(λ≠0).

mnmn

双曲线的几何性质

命题点1 渐近线

1

例2 (1)已知双曲线9y2－m2x2＝1(m＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为,则m等于

5( )

A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D

1

0，?,渐近线3y－mx＝0,则顶点到渐近线的距离为解析 由已知,取顶点??3?＝4.

(2)(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线渐近线方程是____________. 答案 y＝±2x

x2－

y2

＝1(b＞0)经过点(3,4),则该双曲线的b211

＝,解得m32＋m25

y216

解析 因为双曲线x－2＝1(b＞0)经过点(3,4),所以9－2＝1,得b＝2,所以该双曲线的渐近

bb

2

线方程是y＝±2x. 命题点2 离心率

例3 (1)(2019·浙江)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是( ) A.

2

B.1 C.2 D.2 2

答案 C

解析 因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0,所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上,都c

满足a＝b,所以c＝2a,所以双曲线的离心率e＝＝2.

a

x2y21

(2)(2019·唐山模拟)设双曲线C:2－2＝1(a＞b＞0)的两条渐近线的夹角为α,且cos α＝,则C

ab3的离心率为( ) A.

567

B. C. D.2 222

答案 B

b

解析 ∵a＞b＞0,∴渐近线y＝x的斜率小于1,

a1

∵两条渐近线的夹角为α,cos α＝.

3α2α1α1∴cos2＝,sin2＝,tan2＝,

232322b21c2－a21∴2＝,∴2＝, a2a236∴e2＝,∴e＝. 22

x2y2

(3)(2019·全国Ⅰ)双曲线C:2－2＝1(a＞0,b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率

ab为( ) A.2sin 40° 1C. sin 50°答案 D

b

解析 由题意可得－＝tan 130°,

a所以e＝＝

b21＋2＝1＋tan2130°＝a

sin2130°1＋2 cos130°B.2cos 40° 1D. cos 50°

11

＝.

|cos 130°|cos 50°