高2021届高2018级苏教版步步高大一轮高三数学复习课件学案第八章 8.7

C.x±2y＝0 答案 A

D.2x±y＝0

a2－b2a2＋b2a2－b2a2＋b23解析 椭圆C1的离心率为,双曲线C2的离心率为,所以·＝,

aaaa21

即a4＝4b4,所以a＝2b,所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x,即x±2y＝0.

24.经过点A(4,1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________. x2y2

答案 －＝1

1515

x2y2

解析 设双曲线的方程为2－2＝±1(a＞0),

aa把点A(4,1)代入,得a2＝15(舍负), x2y2

故所求方程为－＝1.

1515题组三 易错自纠

x2y2

5.(多选)(2020·辽宁六校协作体月考)若方程＋＝1所表示的曲线为C,则下面四个命题

3－tt－1中错误的是( ) A.若C为椭圆,则1＜t＜3 B.若C为双曲线,则t＞3或t＜1 C.曲线C可能是圆

D.若C为椭圆,且长轴在y轴上,则1＜t＜2 答案 AD

y2x2

解析 若t＞3,则方程可变形为－＝1,它表示焦点在y轴上的双曲线；若t＜1,则方程

t－1t－3x2y2

可变形为－＝1,它表示焦点在x轴上的双曲线；若2＜t＜3,则0＜3－t＜t－1,故方程

3－t1－tx2y2x2y2

＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆；若1＜t＜2,则0＜t－1＜3－t,故方程＋＝13－tt－13－tt－1x2y2表示焦点在x轴上的椭圆；若t＝2,方程＋＝1即为x2＋y2＝1,它表示圆,综上,选AD.

3－tt－16.已知双曲线的实轴长为8,离心率为2,则双曲线的标准方程为__________________. x2y2y2x2

答案 －＝1或－＝1

16481648c

解析 由题意知a＝4,e＝＝2,∴c＝8,

a∴b2＝c2－a2＝64－16＝48.

x2y2y2x2

∵双曲线的焦点位置不确定,故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.

16481648

x2y2

7.P是双曲线－＝1上任意一点,F1,F2分别是它的左、右焦点,且PF1＝9,则PF2＝________.

1681答案 17

解析 由题意知a＝4,b＝9, c＝a2＋b2＝97,

由于PF1＝9＜a＋c＝4＋97,故点P只能在左支上, ∴PF2－PF1＝2a＝8,∴PF2＝PF1＋8＝17.

双曲线的定义

例1 (1)已知圆C1:(x＋3)2＋y2＝1和圆C2:(x－3)2＋y2＝9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为________________. 答案

x2－

y2

＝1(x≤－1) 8

解析 如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.

根据两圆外切的条件, 根据两圆外切的条件, 得MC1－AC1＝MA, MC2－BC2＝MB, 因为MA＝MB,

所以MC1－AC1＝MC2－BC2, 即MC2－MC1＝BC2－AC1＝2,

所以点M到两定点C2,C1的距离的差是常数且小于C1C2＝6.

又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小), 其中a＝1,c＝3,则b2＝8. 故点M的轨迹方程为

x2－

y2

＝1(x≤－1). 8

(2)已知F1,F2为双曲线C:x2－y2＝2的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2＝60°,则△F1PF2的面积为______. 答案 23

解析 不妨设点P在双曲线的右支上, 则PF1－PF2＝2a＝22, 在△F1PF2中,由余弦定理,得

22

PF211＋PF2－F1F2

cos∠F1PF2＝＝,

2PF1·PF22

∴PF1·PF2＝8,

1

∴S△F1PF2＝PF1·PF2·sin 60°＝23.

2

→→

本例(2)中,“∠F1PF2＝60°”改为“PF1·PF2

＝0”,则△F1PF2的面积为________. 答案 2

解析 不妨设点P在双曲线的右支上, 则PF1－PF2＝2a＝22, →→→→

∵PF1·PF2＝0,∴PF1⊥PF2,

2＋PF2＝FF2, ∴在△F1PF2中,有PF12122即PF21＋PF2＝16,

∴PF1·PF2＝4,

1

∴S△F1PF2＝PF1·PF2＝2.

2

思维升华 在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合|PF1－PF2|＝2a,运用平方的方法,建立与PF1·PF2的联系.

跟踪训练1 (1)(2020·广东普宁华侨中学期末)过双曲线

x2－

y2

＝1的左焦点F1作一条直线l4

交双曲线左支于P,Q两点,若PQ＝4,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是________. 答案 12

解析 由题意,得PF2－PF1＝2,QF2－QF1＝2. ∵PF1＋QF1＝PQ＝4, ∴PF2＋QF2－4＝4, ∴PF2＋QF2＝8.

∴△PF2Q的周长是PF2＋QF2＋PQ＝8＋4＝12.

(2)已知F1,F2为双曲线C:x2－y2＝2的左、右焦点,点P在C上,PF1＝2PF2,则cos∠F1PF2＝________.