（2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编四边形综合题

（2）若∠ABC=60°，CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由．

考点：梯形；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质。 专题：几何综合题。 分析：（1）根据AB=AD及AE为∠BAD的平分线可得出∠1=∠2，从而证得△BAE≌△DAE，这样就得出四边形ABED为平行四边形，根据菱形的判定定理即可得出结论；

（2）过点D作DF∥AE交BC于点F，可得出DF=AE，AD=EF=BE，再由CE=2BE得出DE=EF，从而结合∠ABC=60°，AB∥DE可判断出结论． 解答：（1）证明：如图，∵AE平分∠BAD， ∴∠1=∠2，

∵AB=AD，AE=AE， ∴△BAE≌△DAE， ∴BE=DE， ∵AD∥BC， ∴∠2=∠3=∠1， ∴AB=BE，

∴AB=BE=DE=AD，

∴四边形ABED是菱形．

（2）解：△CDE是直角三角形．

如图，过点D作DF∥AE交BC于点F， 则四边形AEFD是平行四边形， ∴DF=AE，AD=EF=BE， ∵CE=2BE， ∴BE=EF=FC， ∴DE=EF，

又∵∠ABC=60°，AB∥DE， ∴∠DEF=60°，

∴△DEF是等边三角形， ∴DF=EF=FC，

∴△CDE是直角三角形．

点评：本题综合考查了梯形、全等三角形的判定及性质、菱形的判定及性质，难度较大，解答本题需要掌握①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．

8. （2011?安顺）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．

（1）说明四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．

考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定。 分析：（1）证明△AEC≌△EAF，即可得到EF=CA，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判断； （2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．根据直角三角形的性质，即可证得AC=EC，根据菱形的定义即可判断．

解答：（1）证明：由题意知∠FDC=∠DCA=90°， ∴EF∥CA，

∴∠AEF=∠EAC， ∵AF=CE=AE，

∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA． 又∵AE=EA，

∴△AEC≌△EAF， ∴EF=CA，

∴四边形ACEF是平行四边形． （2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形． 理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°， ∴AC=错误！未找到引用源。， ∵DE垂直平分BC， ∴BE=CE， 又∵AE=CE，

∴CE=错误！未找到引用源。， ∴AC=CE，

∴四边形ACEF是菱形． 点评：本题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定方法，正确掌握判定定理是解题的关键．

9. （2011?湘西州）如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠ACB=30°，AB=2． （1）求AC的长．

（2）求∠AOB的度数．

（3）以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积．

考点：矩形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质。 专题：综合题。

分析：（1）根据AB的长结合三角函数的关系可得出AC的长度．

（2）根据矩形的对角线互相平分可得出△OBC为等腰三角形，从而利用外角的知识可得出∠AOB的度数．

（3）分别求出△OBC和△BCE的面积，从而可求出菱形OBEC的面积． 解答：解（1）在矩形ABCD中，∠ABC=90°， ∴Rt△ABC中，∠ACB=30°， ∴AC=2AB=4．

（2）在矩形ABCD中， ∴AO=OA=2， 又∵AB=2，

∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB=60°．

（3）由勾股定理，得BC=错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。． 错误！未找到引用源。，

所以菱形OBEC的面积是2错误！未找到引用源。．

点评：本题考查矩形的性质、菱形的性质及勾股定理的知识，综合性较强，注意一些基本知识的掌握是关键． 10.（2011年山东省东营市，19，8分）如图，在四边形ABCD中，DB平分∠ADC，∠ABC=120°，∠C=60°，∠BDC=30°；延长CD到点E，连接AE，使得∠E=（1）求证：四边形ABDE是平行四边形； （2）若DC=12，求AD的长． 1∠C． 2 考点：等腰梯形的性质；含30度角的直角三角形；平行四边形的判定与性质． 专题：计算题；证明题． 分析：（1）可证明AB∥ED，AE∥BD，即可证明四边形ABDE是平行四边形；由∠ABC=120°，∠C=60°，得AB∥ED；∠E= 1∠C=∠BDC=30°，得AE∥BD； 2（2）可证得四边形ABCD是等腰梯形，AD=BC，易证△BDC是直角三角形，可得BC= 1DC=6． 2解答：证明：（1）∵∠ABC=120°，∠C=60°， ∴∠ABC+∠BCD=180°， ∴AB∥DC，即AB∥ED； 又∠C=60°，∠E= 1∠C，∠BDC=30°， 2∴∠E=∠BDC=30°， ∴AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形； 解：（2）∵AB∥DC， ∴四边形ABCD是梯形， ∵DB平分∠ADC，∠BDC=30°， ∴∠ADC=∠BCD=60°， ∴四边形ABCD是等腰梯形； ∴BC=AD， ∵在△BCD中，∠C=60°，∠BDC=30°， ∴∠DBC=90°， 又DC=12， ∴AD=BC= 1DC=6． 2点评：本题考查了知识点较多，有等腰梯形、直角三角形的性质以及平行四边形的判定和性质，只有牢记这些知识才能熟练运用．

11. （2011浙江宁波，23，？）如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G． （1）求证：DE∥BF； （2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．

考点：菱形的判定；平行线的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质。 专题：证明题。

分析：（1）根据已知条件证明∴△ADE≌△CBF，即∠3＝∠CBF，再根据角平分线的性质可知∴∠BDE＝∠FBD，根据内错角相等，即可证明DE∥BF， （2）根据三角形内角和为180°，可以得出∠1＝∠2，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠4＝∠C，AD＝CB，AB＝CD． ∵点E、F分别是AB、CD的中点，