（2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编四边形综合题

的中线，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．

4. （2011?泰州，24，10分）如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F． （1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？

（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由．

考点：相似三角形的判定；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的性质。 专题：证明题；综合题。

分析：（1）根据角平分线的定义，同角的余角相等可知∠AFO=∠CAB，根据垂直的定义，

矩形的性质可知∠ABC=∠FOA，由相似三角形的判定可证△ABC与△FOA相似；

（2）先证明四边形AFCE是平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形

是菱形作出判断．

解答：解：（1）∵直线l垂直平分线段AC，

∴∠AFO=∠CFO，

∵∠CFO+∠FCO=∠CAB+∠FCO=90°， ∴∠AFO=∠CAB， ∵∠AOF=∠CBA=90°， ∴△ABC∽△FOA．

（2）∵直线l垂直平分线段AC，

∴AF=CF，

可证△AOF≌△AOE， ∴AE=CF，FO=EO． ∵四边形ABCD是矩形，

∴四边形AFCE是平行四边形， ∴四边形AFCE是菱形．

点评：考查了线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定，矩形的性质，菱形的判定，综合性较强，有一定的难度．

5. （2010重庆，26，12分）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2错误！未找到引用源。，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；

（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；

（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

D

C A

E O 26题图

B F P

考点：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列二次函数关系式；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；矩形的性质；解直角三角形

分析：（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=3﹣t，在Rt△CBF中，解直角三角形可求t的值； （2）按照等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0≤t＜1，1≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜6四种情况，分别写出函数关系式；

（3）存在．当△AOH是等腰三角形时，分为AH=AO=3，HA=HO，OH=OA三种情况，分别画出图形，根据特殊三角形的性质，列方程求t的值． 解答：解：（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=3﹣t，在Rt△CBF中，BC=2错误！未找到引用源。，tan∠CFB=错误！未找到引用源。

BC，即tan60=错误！未找到引BF用源。23，解得BF=2，即3﹣t=2，t=1，∴当边FG恰好经过点C时，t=1； BFG D C A

E O

B

F P

26题答图①

（2）当0≤t＜1时，S=2错误！未找到引用源。t+4错误！未找到引用源。；

2

当1≤t＜3时，S=﹣错误！未找到引用源。t+3错误！未找到引用源。t+错误！未找到引用源。；

当3≤t＜4时，S=﹣4错误！未找到引用源。t+20错误！未找到引用源。；

2

当4≤t＜6时，S=错误！未找到引用源。t﹣12错误！未找到引用源。t+36错误！未找到引用源。； （3）存在．

理由如下：在Rt△ABC中，tan∠CAB=

BC错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。， AB∴∠CAB=30°，又∵∠HEO=60°，∴∠HAE=∠AHE=30°， ∴AE=HE=3﹣t或t﹣3，

1）当AH=AO=3时，（如图②），过点E作EM⊥AH于M，则AM=错误！未找到引用源。

AH=错误！未找到引用源。，

3AM在Rt△AME中，cos∠MAE═错误！未找到引用源。，即cos30°=2错误！未找到引

AEAE用源。，

∴AE=错误！未找到引用源。，即3﹣t=错误！未找到引用源。或t﹣3=错误！未找到引用源。，

∴t=3﹣错误！未找到引用源。或t=3+错误！未找到引用源。， D H M A

E O 26题答图②

B

P

C

2）当HA=HO时，（如图③）则∠HOA=∠HAO=30°， 又∵∠HEO=60°，∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE， 又∵AE+EO=3，∴AE+2AE=3，AE=1， 即3﹣t=1或t﹣3=1，∴t=2或t=4； D H A

E

O 26题答图③

B

P

C 3）当OH=OA时，（如图④），则∠OHA=∠OAH=30°， ∴∠HOB=60°=∠HEB，∴点E和点O重合，

∴AE=3，即3﹣t=3或t﹣3=3，t=6（舍去）或t=0； D H C A

O(E)

B

P

26题答图④

综上所述，存在5个这样的t值，使△AOH是等腰三角形，即t=3﹣错误！未找到引用源。或t=3+错误！未找到引用源。或t=2或t=2或t=0．

点评：本题考查了特殊三角形、矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的有关知识．关键是根据特殊三角形的性质，分类讨论．

6. （2011湖北咸宁，22，10分）（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F

分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数． （2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，

ND，DH之间的数量关系，并说明理由．

（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3错误！未找到引用源。，求AG，MN的长．

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。

分析：（1）根据高AG与正方形的边长相等，证明三角形相等，进而证明角相等，从而求出解．

（2）用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论． （3）设出线段的长，结合方程思想，用数形结合得到结果．

解答：（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB?AG，AE?AE，

∴△ABE≌△AGE． ∴?BAE??GAE． 同理，?GAF??DAF．

1∴?EAF??BAD?45?．

2（2）MN2?ND2?DH2．

∵?BAM??DAH，?BAM??DAN?45?，

∴?HAN??DAH??DAN?45?． ∴?HAN??MAN． 又∵AM?AH，AN?AN，

∴△AMN≌△AHN． ∴MN?HN． ∵?BAD?90?，AB?AD，

∴?ABD??ADB?45?． ∴?HDN??HDA??ADB?90?．

∴NH2?ND2?DH2． ∴MN2?ND2?DH2． （3）由（1）知，BE?EG，DF?FG．

A 设AG?x，则CE?x?4，CF?x?6．

∵CE2?CF2?EF2，

B

M E

G N F D

∴(x?4)2?(x?6)2?102．

解这个方程，得x1?12，x2??2（舍去负根）． ∴AG?12． ∴BD?C

（图①）

AB2?AD2?2AG2?122．

在（2）中，MN2?ND2?DH2，BM?DH，

∴MN2?ND2?BM2．

设MN?a，则a2?(122?32?a)2?(32)2．

∴a?52．即MN?52．

点评：本题考查里正方形的性质，四边相等，对角线平分每一组对角，以及全等三角形的判定和性质，勾股定理的知识点等．

7.（2011?贵港）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．

（1）求证：四边形ABED是菱形；