（2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编四边形综合题

点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后的两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了矩形的性质和含30°的直角三角形三边的关系．

2. 1. （2011湖北孝感，16，3分）已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是

考点：正方形的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质。 专题：计算题。

分析：当E在正方形ABCD内时，根据正方形ABCD，得到AD=CD，∠ADC=90°，根据等边△CDE，得到CD=DE，∠CDE=60°，推出AD=DE，得出∠DAE=∠AED，根据三角形的内角和定理求出即可；

当E在正方形ABCD外时，根据等边三角形CDE，推出∠ADE=150°，求出即可．

解答：解：有两种情况： 当E在正方形ABCD内时， ∵正方形ABCD，

∴AD=CD，∠ADC=90°， ∵等边△CDE，

∴CD=DE，∠CDE=60°， ∴∠ADE=90°﹣60°=30°， ∴AD=DE，

∴∠DAE=∠AED=错误！未找到引用源。（180°﹣∠ADE）=75°； 当E在正方形ABCD外时， ∵等边三角形CDE， ∴∠EDC=60°， ∴∠ADE=90°+60°=150°，

∴∠AED=∠DAE=错误！未找到引用源。（180°﹣∠ADE）=15°． 故答案为：15°或75°．

点评：本题主要考查对正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 3. （2010河南，13，3分）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 4 ．

考点：角平分线的性质；垂线段最短

分析：根据垂线段最短，当DP垂直于BC的时候，DP的长度最小，则结合已知条件推出

∠C=∠ADC，推出△ABC≌△PBD，即可AD=DP． 解答：解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小，∵BD⊥CD，∠ADB=∠C，∠A=90°，∴∠C=∠ADC，∴△ABC≌△PBD，∵AD=4，∴DP=4．故答案为：4．

点评：本题主要考查了直线外一点到直线的距离垂线段最短、全等三角形的判定和性质、角平分的性质，解题的关键在于确定好DP处置于BC．

三、解答题

1. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长

DE至F，使EF=DE．连接BF、CD、AC．

（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；

（2）如果DE2=BE?CE，求证四边形ABFC是矩形．

考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质． 专题：证明题．

分析：（1）连接BD，利用等腰梯形的性质得到AC=BD，再根据垂直平分线的性质得到DB=FB，从而得到AC=BF，然后证得AC∥BF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形；

（2）利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形． 解答：证明：（1）连接BD，

∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC， ∴AC=BD，∠ACB=∠DBC ∵DE⊥BC，EF=DE，

∴BD=BF，∠DBC=∠FBC， ∴AC=BF，∠ACB=∠CBF ∴AC∥BF，

∴四边形ABFC是平行四边形；

（2）∵DE=BE?CE ∴

，

2

∵∠DEB=∠DEC=90°， ∴△BDE∽△DEC

∴∠BDC=∠BFC=90°， ∴四边形ABFC是矩形．

点评：本题考查了等腰梯形的性质、全等及相似三角形的判定及性质等，是一道集合了好几个知识点的综合题，但题目的难度不算大．

2. （2011四川广安，23，8分）如图5所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝ 60°，DE∥AC交

BC的延长线于点E．求证：DE＝

AD1BE． 2BCE

考点：菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，线段的倍分关系

专题：四边形

分析：思路一：易知四边形ACED是平行四边形，则AD＝CE＝BC，从而可知BC＝要说明DE＝

图5

1BE，21BE，只需说明DE＝BC即可． 2思路二：连接BD，先证∠BDE＝90°，再证∠DBE＝30°，根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半可直接获得结论（自己完成证明过程）．

解答：∵ABCD是菱形，

∴AD//BC，AB＝BC＝CD＝DA． 又∵∠ABC＝ 60°， ∴BC＝AC＝AD． ∵DE∥AC

∴ACED为平行四边形． ∴CE＝AD＝BC，DE＝AC． ∴DE＝CE＝BC，

∴DE＝

1BE． 2点评：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，而平行四边形的对边相等，由此可以得出相等的线段，可实现线段的等量代换（转移），这就为证明线段相等或倍、分关系创造了条件．

3. （2010重庆，24，10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF． （1）求EG的长；

（2）求证：CF=AB+AF．

A E F D B

G 24题图

C

考点：梯形；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理 分析：（1）根据BD⊥CD，∠DCB=45°，得到∠DBC=∠DCB，求出BD=CD=2，根据勾股定理求出BC=2错误！未找到引用源。，根据CE⊥BE，点G为BC的中点即可求出EG； （2）在线段CF上截取CH=BA，连接DH，根据BD⊥CD，BE⊥CD，推出∠EBF=∠DCF，证出△ABD≌△HCD，得到AD=BD，∠ADB=∠HDC，根据AD∥BC，得到∠ADB=∠DBC=45°，推出∠ADB=∠HDB，证出△ADF≌△HDF，即可得到答案． 解答：（1）解：∵BD⊥CD，∠DCB=45°， ∴∠DBC=45°=∠DCB，∴BD=CD=2，在Rt△BDC中BC=BD?CD错误！未找到引用源。=2错误！未找到引用源。，∵CE⊥BE，点G为BC的中点，∴EG=错误！未找到引用源。BC=错误！未找到引用源。．

答：EG的长是错误！未找到引用源。．

（2）证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH，

A E F D 22B

G

C

24题答图

∵BD⊥CD，BE⊥CE， ∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°， ∵∠EFB=∠DFC， ∴∠EBF=∠DCF， ∵DB=CD，BA=CH， ∴△ABD≌△HCD，

∴AD=DH，∠ADB=∠HDC， ∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC=45°， ∴∠HDC=45°，∴∠HDB=∠BDC﹣∠HDC=45°， ∴∠ADB=∠HDB， ∵AD=HD，DF=DF， ∴△ADF≌△HDF， ∴AF=HF，

∴CF=CH+HF=AB+AF， ∴CF=AB+AF．

点评：本题主要考查对梯形，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，直角三角形斜边上