四川省资阳市2018届高三4月模拟考试(三诊)数学(理)试题(解析版)

3=148.5元． 所以甲商家的日平均返利额为：60+29.5×

由①得乙商家的日平均返利额为152.8元（＞148.5元）， 所以推荐该超市选择乙商家长期销售． 19. 如图，三棱柱（1）过

的各棱长均相等，

底面

，E，F分别为棱

的中点．

作平面α，使得直线BE//平面α，若平面α与直线

的余弦值．

.

交于点H，指出点H所在的位置，并说明理由；

（2）求二面角

【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由直线四边形

是平行四边形，则

平面，利用线面平行的判定定理可得直线

，即点为

直线，又直线，可得

的中点；（2）取的中点，由于

两两互相垂直，所以可以

与平面

为轴建立如空间直角坐标系，分别根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面

的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.

试题解析：（1）如图所示，平面FHA1即为平面α，H点为线段BB1的中点． 理由如下：

因为直线BE//平面α，平面α∩平面AB1=A1H，直线BE?平面AB1， 所以直线BE//直线A1H，又A1E//直线BH， 所以四边形BEA1H是平行四边形，则BH= A1E即H点为BB1的中点．

，

（2）如图，取B1C1的中点Q，显然FC，FQ，FA两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz如图所示． 不妨设棱长为2，则H（-1，1，0），A1（0，2，）， 则

，

， ， ．

，

设面FHA1的法向量则由令

，得

得

取平面BFH的一个法向量

于是所以二面角

．

的余弦值为

．

【方法点晴】本题主要考查线面平行的证明以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 20. 已知

为椭圆E：

的左、右顶点，

，E的两个焦点与E的短轴两个端点所构

成的四边形是正方形． （1）求椭圆E的方程； （2）设动点大值． 【答案】（1）

；（2）

. 得

，由的两个焦点与的短轴两个端点所构成的四边形是正方形．可

的方程为，从而

，直线

的方

（

），记直线

与E的交点（不同于

）到x轴的距离分别为

，求

的最

【解析】试题分析：（1））由得程为

，又

，解得

，从而可得椭圆的方程；（2）设直线

，

，将两直线方程分别与椭圆方程联立，求得

试题解析：（1）由

，利用基本不等式可得结果.

得

，则

．

因为E的两个焦点与E的短轴两个端点所构成的四边形是正方形． 所以

，又

，解得． 的方程为

，直线

的方程为

，

，

故椭圆E的方程为（2）不妨设设

．直线

，

由得，可得．

又由得，可得．

则 ．

因为，当且仅当取等号，则，

即

21. 已知函数（1）当

．当且仅当取等号． （其中

）．

时，求零点的个数k的值；

，求证：

．

（2）在（1）的条件下，记这些零点分别为【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）利用导数研究函数的单调性，可得当x＞时，

为减函数，所以

，判断出

、

、；

，为增函数；当时， ，

的符号，结合函数图象，利用零点定理可得结

果；（2）由（1）知的两个零点为，不妨设，可得，进而，

，只需利用导数证明

试题解析：（1）由题x＞0，由

得

， ，

为增函数；当0

，所以

， ，又

所以当

时，

零点的个数为2．

，不妨设

， 且

， ，

，则

即可得结论.

，

当x＞时，所以因为而

为减函数，

（2）由（1）知于是

的两个零点为

，

两式相减得（*）， 令，

则将所以下面证明即证明则所以故于是所以有所以

代入（*）得，进而，

，

，其中，设

，令

，

，

，则为

为，即

增函数，

减函数，

． ，得

， ，

为增函数，即

，故

，从而，得证．

．而由

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. [选修4－4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中t为参数），现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极

轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）写出直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）过点

且与直线平行的直线交于，两点，求

.

；（2）

.

将曲线C的

【答案】（1）直线l的普通方程为；的直角坐标方程为

【解析】试题分析：（1）先根据加减消元得直线l的普通方程，再根据

极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先求直线参数方程标准形式，再代入曲线C的直角坐标方程，根据参数几何意义得

，最后利用韦达定理代入求值.

试题解析：（1）由消去参数t，得直线l的普通方程为．