福建省晨曦中学2016届高三上学期开学数学（理）试卷

非重度污染 重度污染 合计 8 30 供暖季 22 63 7 70 非供暖季 85 15 100 合计 …．

K的观测值K=

2

2

≈4.575＞3.841…．

所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．…．

点评：本题考查概率知识，考查列联表，观测值的求法，是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关．

19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=一点．

（1）若P是棱A1C1的中点，求证：A1B∥平面B1PC；

（2）若二面角B1﹣CP﹣A的大小为60°，求三棱锥B1﹣PCC1的体积．

，P是A1C1上

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 专题：空间位置关系与距离． 分析：（1）证明线面平行，可利用线面平行的判定定理，则想到连接BC1，交B1C于M，连接MP后可由三角形的中位线知识得到线线平行，进一步得到线面平行；

（2）找出二面角B1﹣CP﹣A的平面角，通过解三角形得到P点位置，求得三角形CC1P的面积，代入棱锥的体积公式得答案．

解答： （1）证明：连接BC1，交B1C于M，连接MP， ∵P是棱A1C1的中点，∴MP∥A1B， ∵A1B?平面B1PC，MP?平面B1PC， ∴A1B∥平面B1PC；

（2）解：∵A1B1⊥A1C1，A1B1⊥AA1，且AA1∩A1C=A1， ∴B1A1⊥平面ACC1A1，取A1C的中点O，连接MO， 则MO⊥平面ACC1A1，

过O作ON⊥PC，垂足是N，连接MN，则∠MNO为二面角 B1﹣CP﹣A的平面角，等于60°，

在Rt△MON中，∵OM==，

∴ON=∵AC=1，

，∴

，

，则OC=

，

，

∴

设PC1=x，PC=x+2，A1P=1﹣x， ∴即

整理并解得：x=2（舍），或x=， ∴

2

2

，

，

，

．

点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．

20．已知过点A（﹣4，0）的动直线l与抛物线C：x=2py（p＞0）相交于B、C两点．当l的斜率是时，

．

2

（1）求抛物线C的方程；

（2）设BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题． 专题：计算题．

分析：（1）设出B，C的坐标，利用点斜式求得直线l的方程，与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，根据

求得y2=4y1，最后联立方程求得y1，y2

和p，则抛物线的方程可得． （2）设直线l的方程，AB中点坐标，把直线与抛物线方程联立，利用判别式求得k的范围，利用韦达定理表示出x1+x2，进而求得x0，利用直线方程求得y0，进而可表示出AB的中垂线的方程，求得其在y轴上的截距，根据k的范围确定b的范围．

解答： 解：（1）设B（x1，y1），C（x2，y2），由已知k1=时，l方程为y=（x+4）即x=2y﹣4． 由

得2y﹣（8+p）y+8=0

2

①②∴

又∵

，∴y2=4y1③

2

由①②③及p＞0得：y1=1，y2=4，p=2，即抛物线方程为：x=4y．

（2）设l：y=k（x+4），BC中点坐标为（x0，y0） 由

得：x﹣4kx﹣16k=0④

2

∴

∴BC的中垂线方程为

2

．

2

∴BC的中垂线在y轴上的截距为：b=2k+4k+2=2（k+1）

2

对于方程④由△=16k+64k＞0得：k＞0或k＜﹣4． ∴b∈（2，+∞） 点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解决此类问题要充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用．

21．已知函数f（x）=ax+x﹣xlnx（a＞0）．

2

（1）若函数满足f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx+2x恒成立，求实数b的取值范围； （2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围； （3）当＜x＜y＜1时，试比较与

的大小．

2

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系． 专题：综合题；压轴题；导数的综合应用．

分析：（1）依题意，1﹣﹣

min，从而可求得实数

≥b，构造函数g（x）=1﹣﹣，利用导数可求得g（x）

b的取值范围； （2）f′（x）=2ax﹣lnx，（x＞0），令f′（x）≥0可求得a的范围，对a的范围分情况讨论可由f（x）在定义域上是单调函数，求得实数a的取值范围； （3）由（1）知g（x）=1﹣＜

在（0，1）上单调递减，从而可得，＜x＜y＜1时，

．

，进一步分析即可得到＜

解答： 解：（1）由f（1）=2，得a=1，又x＞0， ∴x+x﹣xlnx）≥bx+2x恒成立?1﹣﹣令g（x）=1﹣﹣

2

2

≥b，…

，可得g（x）在（0，1]上递减，

在[1，+∞）上递增，所以g（x）min=g（1）=0， 即b≤0…

（2）f′（x）=2ax﹣lnx，（x＞0）， 令f′（x）≥0得：2a≥∴当a≥若0＜a＜

，设h（x）=

，当x=e时，h（x）max=，

时，函数f（x）在（0，+∞）单调递增…

，g（x）=2ax﹣lnx，（x＞0），g′（x）=2a﹣，

，x∈（0，

），g′（x）＜0，x∈（

，+∞），g′（x）＞0，

g′（x）=0，x=∴x=

时取得极小值，即最小值．

时，g（

）=1﹣ln

＜0，

而当0＜a＜

f′（x）=0必有根，f（x）必有极值，在定义域上不单调… ∴a≥

…

在（0，1）上单调递减，

＜

…

（3）由（1）知g（x）=1﹣

∴＜x＜y＜1时，g（x）＞g（y）即而＜x＜y＜1时，﹣1＜lnx＜0， ∴1+lnx＞0， ∴＜

…

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查函数的单调性与导数的关系，突出分类讨论思想在分析解决问题中的应用，属于难题．