福建省晨曦中学2016届高三上学期开学数学（理）试卷

A．（，+∞） B．（，+∞） C．（，+∞） D．（0，+∞）

考点：双曲线的简单性质．

专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．

解答： 解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n）， 由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10， 即有m=10，n=2c，

由椭圆的定义可得m+n=2a1， 由双曲线的定义可得m﹣n=2a2， 即有a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），

再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＞10， 可得c＞，即有＜c＜5． 由离心率公式可得e1?e2=

=

=

，

由于1＜＜4，则有＞．

则e1?e2 的取值范围为（，+∞）．

故选：A．

点评：本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查三角形的三边关系，考查运算能力，属于中档题．

二、填空题（共4小题，满分20分）

13．若（1+ax）（a≠0）的展开式中x与x的系数相等，则a=3．

考点：二项式定理的应用． 专题：计算题；二项式定理．

56

分析：先写出展开式的通项，再利用x与x的系数相等，建立方程，即可求得a的值．

756

解答： 解：展开式的通项为Tr+1=∵x与x的系数相等，∴

5

6

解得a=3， 故答案为：3．

点评：本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．

14．设函数f（x）=x（e+ae）（x∈R）是偶函数，则实数a=﹣1．

x

﹣x

考点：函数奇偶性的性质． 专题：函数的性质及应用．

分析：由函数是偶函数，直接用特殊值求解即可

解答： 解：因为函数f（x）=x（e+ae）（x∈R）是偶函数，

﹣xx

所以g（x）=e+ae为奇函数 由g（0）=0，得a=﹣1． 故答案是﹣1

点评：考查函数的奇偶性的应用及填空题的解法．

15．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=2则c=．

考点：正弦定理． 专题：解三角形．

x﹣x

sinA，b=，a=3c，

分析：a=2sinA，b=，由正弦定理可得：

2

2

2

=2，可得，

解得B．再由a=3c及其余弦定理可得：b=a+c﹣2accosB，解出即可． 解答： 解：∵a=2sinA，b=， 由正弦定理可得：∴

，

．

2

2

2

=2，

∵B为锐角，∴B=

由余弦定理可得：b=a+c﹣2accosB， ∴21=9c+c﹣

22

2

，

化为c=3， 解得c=． 故答案为：．

点评：本题考查了正弦定理与余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

16．已知点A（﹣1，0），B（1，0），直线l：x=﹣1，P为平面上一动点，设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率k2，且k1?k2=﹣1，过P作l的垂线，垂足为Q，则△APQ面积的最大值为

．

考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系． 专题：三角函数的图像与性质；直线与圆． 分析：由已知可得P为以AB为直径的圆上，除AB外的任意点，设P点坐标为（cosx，sinx），x≠kπ，k∈Z，进而可得△APQ面积的最大值．

解答： 解：∵直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率k2，且k1?k2=﹣1， ∴PA⊥PB，故P为以AB为直径的圆上，除AB外的任意点，

由点A（﹣1，0），B（1，0），

可得以AB为直径的圆为x+y=1， 设P点坐标为（cosx，sinx），x≠kπ，k∈Z， 则Q点的坐标为（﹣1，sinx）， 不妨令P点在第一，二象限，

则△APQ中|PQ|=cosx+1，PQ边上的高为sinx，

故△APQ面积S=sinx（cosx+1）=（sinxcosx+sinx）=sin2x+sinx， ∴S′=（cos2x+cosx）=（2cosx+cosx﹣1）， 令S′=0，则cosx=，或cosx=﹣1（舍去）， 此时x=

， S取最大值sin

+sin

=

，

22

2

故答案为：

点评：本题考查的知识点是直线垂直的充要条件，三角函数的最值问题，是三角函数与直线和圆的综合应用，难度中档．

三、解答题（共8小题，满分70分）

17．已知等差数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）记Tn为数列

的前n项和，是否存在正整数n，使得Tn＜

？若存在，

求n的最大值；若不存在，说明理由．

考点：数列与不等式的综合；数列的求和． 专题：等差数列与等比数列． 分析：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，利用S1，S2，S4成等比数列，求出公差，然后求出通项公式．

（Ⅱ）利用an=1时，Tn=n≥1，此时不存在正整数n，使得用裂项法求出Tn，通过

；当an=2n﹣1时，利

，解得n＜1007．得到n的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，依题意，1，2+d，4+6d成等比数列，

22

所以（2+d）=4+6d，即d﹣2d=0，所以d=0或d=2． 因此，当d=0时，an=1；当d=2时，an=2n﹣1．… （Ⅱ）当an=1时，Tn=n≥1，此时不存在正整数n，使得当an=2n﹣1时，=

；

=由

，得

．

，解得n＜1007．

故n的最大值为1006．…

点评：本题考查数列求和，数列与不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．

18．某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：

API [0，50] （50，100] （100，150] （150，200] 若某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为ω）的关系式为：

S=，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200

元且不超过600元的概率；

（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？ 附：

0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K≥k0） 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 k0 2

2k=

供暖季 非供暖季 合计 非重度污染 22 63 85 重度污染 8 7 15 合计 30 70 100

考点：独立性检验的应用． 专题：计算题；概率与统计． 分析：（1）由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39，即可求出概率；

（2）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论． 解答： 解：（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A…

由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39，…

∴P（A）=…．

（2）根据以上数据得到如表：