斜齿轮跨齿数计算方法合理性的研究

斜齿轮跨齿数计算方法合理性的研究

中煤北京煤机公司退休职工 周万峰

摘要：斜齿轮的跨齿数目前仍有两种计算方法：一种是用Z?(Z??Z(inv?tinv?n)计算假想齿数，一种是用Zn(Zn?Zcos?)计算当量齿数。文章认为用后者计算一是不甚合理；二是有时情况较差；三是有局限性；四是计算费事。因此建议屏弃这种计算方法。

关键词：公法线长度，公法线长度测量点，假想齿数，当量齿数。

31、斜齿轮的跨齿数目前仍有两种计算方法

大家知道，凡计算公法线长度，首先应计算出跨齿数k，然后才能计算跨k个齿的公法线长度。斜齿轮公法线长度的计算公式为：

Wn?mncos?n?(k?0.5)??Z?inv?n??2xnmnsin?n 。

式中k为跨齿数，目前它的计算仍有两种方法：一种是用下面的公式计算：

k?Z?cos?nZ?arccos?0.5 0?Z?2xn180另一种是某些教材、手册和科技书上的计算方法。Z?为假想齿数，Z??Z (inv?tinv?n)。它的计算是按下面的公式：

k?ZnZncos?narccos?0.5

Zn?2xn1800Zn为当量齿数，Zn?Zcos3?。

斜齿轮跨齿数有两种计算方法的这种情况已有多年的历史了。笔者以前也曾验证过：

用假想齿数Z?计算跨齿数情况较好，用当量齿数Zn计算跨齿数有时情况较差，但未把它当回事。然而近年发现《齿轮手册》上也是用Zn计算的，于是笔者不揣冒昧写了这篇文章。笔者认为在斜齿轮的跨齿数计算公式中用当量齿数Zn计算是不甚合理的，因为Zn不是用作计算斜齿轮的跨齿数k用的。它是用作：① 当用成型铣刀加工斜齿轮时用作选择刀号的，因为刀号用Zn来选择。② 有时计算斜齿轮的法面分度圆弦齿厚和弦齿高时需要计算Zn。③ 在斜齿轮的弯曲强度计算中也需计算Zn。而Z?才是用作计算跨齿数和公法线长度的。

2、两种计算方法优劣之比较

大家都知道，跨齿数不同则公法线长度自然不同；公法线长度不同则公法线长度的测量点（量具卡脚与齿廓的切点）在齿廓上的部位当然也就各异。因此这里就有公法线长度合理性的问题了。所谓公法线长度的合理性是指公法线的测量点是否在齿廓合理部位。如公法线的测量点在齿高的中点部位则说明公法线长度是合理的；如测量点在齿顶部或根部则说明公法线长度是不合理的。因为在这个部位公法线长度测量不准，影响齿厚精度。标准齿轮的中点部位是分度圆，故标准齿轮公法线的测量点应在“分度圆上”；而变位齿轮齿

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高的中点部位是“d?2xm圆”，故变位齿轮公法线的测量点应在“d?2xm圆”上。但由于跨齿数的k值的4舍5入，故公法线的测量点一般都不在“分度圆”或“d?2xm圆”上，而是在它们的附近。不言而喻，公法线长度的测量点离“分度圆”或“d?2xm圆”越近，说明公法线长度越合理。这些论点都是大家所公认的。现在就根据这个大家所公认的论点计算一个算例，用两种方法计算，看看孰优孰劣。

?n?20 ，??16，今用两种法算例 一标准斜齿轮，mn?4mm ，Z?32 ，计算跨齿数，看看哪条公法线长度更合理些。现计算如下：

00用Z?计算跨齿数 （1） 计算公法线测量点所在圆直径dk 用Zn计算跨齿数 （1） 计算公法线测量点所在圆直径dk 公式同左。 ① 计算基圆直径db dk?db?(Wncos?)2 ① 计算基圆直径db 2db?dcos?t d为分度圆直径。 d?mnZcos??4?32cos160 ?133.16。 d?133.16. ?t为端面压力角 ?tg?t?tg?ncos?= arctg(tg200cos160)?20044?19?? ?db?133.16cos20044?19???124.53 ② 计算公法线长度Wn 计算跨齿数 db?124.53 ②计算公法线长度Wn 计算跨齿数 Wn?mncos??(k?0.5)??Z?inv?n? k?Z??n1800?0.5 查手册，当??160k?Zn?n1800?0.5 inv?t?1.119。 Z?Zcos3??32(cos160)3 ninv?n?Z??32?1.119?35.808。 ?36.027 00?k?35.808?20180?0.5?4.4。 ?k?36.027?2001800?0.5?4.5 按规定应取k?4。 Wn?4cos200?(5?0.5)?? ?Wn?4cos200?(4?0.5)?? 036.027inv20??55.16。 35.808inv200?=43.34。 ③ 计算基圆螺旋角?b ③ 计算基圆螺旋角?b tg?b?tg?cos?t 公式同左。 ??b?arc tg(tg?cos?t)? arc tg(tg160cos20.7385710)? ?15.01158710。 dk?

?b?15.01158710 dk? 2

=131.38。 ?124.532?(43.34cos15.01158710)2 ?124.532?(55.16cos15.01158710)2 =135.65。 （2）计算齿顶圆直径da （2）计算齿顶圆直径da da?d?2ha ha?mn?4 ?da?133.16?2?4?141.16。 （3）计算测量点至齿顶、齿根距离 ① 测量点至齿顶距离Sa da?141.16。 ⑶ 计算测量点至齿顶、齿根距离 ① 测量点至齿顶距离 Sa?(da?dk)2 ?Sa?(141.16?131.28)2?4.89。 ② 测量点至齿根距离Sf ?Sa?(141.16?135.65)2?2.76。 ② 测量点至齿根距离Sf h=9 Sf?h?Sa h?2.25mn?2.25?4?9 ?Sf?9?4.89?4.11 ?Sf?9?2.76?6.24。 验证计算结果表明：用Z?计算跨齿数，公法线的测量点至齿顶、齿根的距离为4.894.11mm，测量点基本在齿高的中点附近，情况较好。而用Zn计算跨齿数，测量点至齿顶、齿根的距离为2.766.24mm，情况也可以，但测量点向齿顶靠近了些。显然用Z?计算比用Zn计算测量点离分度圆更近些，误差小些。前者误差的绝对值为

(dk?d)2?(131.38?133.36)2?0.89mm，后者误差的绝对值为

(dk?d)2?(135.65?133.16)2?1.25mm。所以，斜齿轮的跨齿数用Z?计算比用Zn计算情况好。用Zn计算，跨齿数往往偏多，测量点靠近齿顶，情况较差。

3、用Zn计算跨齿数还有局限性的问题

用Zn计算跨齿数，当变位系数和螺旋角都不大时情况还可以；但当变位系数（指绝对值）和螺旋角较大时用Zn计算跨齿数就不如人意了：跨齿数往往偏多，测量点靠近齿顶。而且变位系数和螺旋角越大，测量点靠近齿顶的情况也越严重。例如：一变位斜齿轮，

mn?5mm ，Z2?67 (Z1?25) ，xn2?1.83 (xn1?0.71) ，?n?200 ，??300，用Z? 计算k?14，公法线的测量点至齿顶、齿根的距离为4.845.17mm；而用Zn计算

k?15，公法线测量点至齿顶、齿根的距离为1.728.29mm。显然前者情况好，测量点正

在齿高的中点部位，而后者情况很差，测量点都靠近齿顶了。限于篇幅，计算过程（相当麻烦）从略。如有的读者对此有兴趣的话，可以验证一下。

有人说：用Zn计算跨齿数对于??15、︱x︱＜0.5的情况下误差很小，不会有什么问题。是的，在螺旋角和变位系数都不大的情况下问题是不大的。但谁能说在机械行业

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0中只用??15、︱x︱＜0.5的斜齿轮呢？诚然，斜齿轮的?不宜过大，过大则轴向力大，不利于轴承的设计。但??15的斜齿轮也不乏其例呀。??25~30的斜齿轮也有啊。而且人字齿轮因为它的轴向力抵消了，所以它的螺旋角就可以大到??25~40的范围之内了。由于斜齿和人字齿轮传动平稳，承载能力高，故多用于高速重载的传动中。比如轧钢机的主减速器就是人字齿轮传动的。总之，用Zn计算跨齿数它的情况不仅往往较差，而且还有局限性的问题。

000004、用Zn计算跨齿数麻烦、费事

上面论述了两种计算方法的优劣和用Zn计算有局限性。现在退一步讲：即便两种计算方法在任何情况下它们确定的跨齿数都完全相同，那么用Zn计算也不如用Z?计算好。因为用Z?计算，只计算Z?一项就完了。而用Zn计算，既要计算Zn（计算跨齿数用），又要计算Z?(计算公法线长度用)，这样是不是麻烦费事？更何况它还有时情况不良，而且还有局限性的问题呢？因此，用Zn计算跨齿数的这种方法应该屏弃了。

注：该文2005年10月首次投稿给《机械制造》杂志，它不发表。之后投给《机械设计》杂志，它要求修改修改。因我不愿修改，也不愿交版面费，故未能发表。

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