第8章 质点系动力学：矢量方法习题解答080814

?AB?

18g69g，（逆时针）；?BC?，（顺时针）. 55l55l8-17 椭圆摆滑块的质量为M，放在水平的光滑面上， B处

小球的质量为m，由轻质刚性杆AB连接，杆长为l，点A处为铰链，如图所示。试用达朗贝尔原理求椭圆摆的运动微分方程。 解：取椭圆摆为研究对象，椭圆摆的自由度为2，选x,?表达椭圆摆的位形.

I在滑块A上加惯性力：FA?MaA，与aA反向；

题8-17图

在质点B上加惯性力：

ItnFBx?maA?aBAcos??aBAsin?， 与x轴反向；

??Itn FBy?maBAsin??aBAco?s， 与y轴反向， tn?2. 列出动静方程 ??，aBA?，aBA其中aA??x?l??l????F?0，?F?F?0，

?m?0， ?Flcos???FxIAIBxAIBxIBy?mglsin??0，

椭圆摆的受力图

?代入并整理得椭圆摆的运动微分方程

??co??2sin??ml? ?m?M??xs?ml???0，

??co??co?xs?l?s?gsin??0 ?

8-18 均质圆柱体的质量为m，半径为R，用支座A和铰链B固定在铅垂平面内，AB间的

水平距离为L，如图所示。试用动静法求突然移去支座A的瞬时，圆柱质心C的加速度和铰链B的约束力。

解：取圆柱体为研究对象，圆柱体作定轴转动，初瞬时??0. 在质心加惯性力

I FCI?maC，MC?JC?

12其中aC?R?，JC?mR. 列动静方程

2

题8-18图

?mBI?0，mgRcos??FCIR?MC?0

解得 ?? aC?Lg3R2；于是，圆柱质心C的加速度为

Lg. 3Rx?F

?0， FBx?FCIsin??0，

17

L4R2?L2解得 FBx?mg.

6R2?Fy?0，FBy?FCIcos??mg?0，

?L2?解得 FBy?mg??1?6R2??.

??

8-19 轮轴质心位于O处，对于轴O的转动惯量为JO。在轮轴上系有两个质量各为m1和m2的物体，若此轮轴以逆时针方向转动，求轮轴的角加速度和轴承O的动约束力。

解：取轮轴连同两个质量各为m1和m2的物体组成的系统为研究对象，设轮轴的角加速度为?，则重物m1和m2的加速度为a1?r1?，a2?r2?. 加惯性力

IF1I?m1a1， F2I?m2a2，MC?JO?，

题8-19图

方向如图示。列动静方程

?mOI?0， ?0，?m1g?F1I?r1??m2g?F1I?r2?MC解得

???m1r1?m2r2?gJO?mr?mr211222；

按题意要求轴承的动反力，因此动静方程中将不计入重力。

?F ?Fx?0，FOx?0；

y?0，FOy?F1I?F2I?0，

解得 FOy?

?m2r2?m1r1??m1r1?m2r2?g.

JO?m1r12?m2r22轮轴-质量系统的受力图

8-20 均质平板的质量为m，放在半径为r，质量各为0.5 m

的两个相同的均质圆柱上，如图所示。如在平板上作用一水平力F，使圆柱在地面上纯滚动，且板与圆柱间无相对滑动，试求平板的加速度。

解：1）取均质圆柱为研究对象，圆柱作纯滚动，圆心加速度和角加速度存在关系 a1?r? 在圆心处加惯性力 F?0.5ma1， MC?JO1??

I

题8-20图

I

圆柱的受力图

1mra1. 418

列出动静方程

?mAI?0，?Ff1?2r?FIr?MC?0，

解得 Ff1?3ma1. 8

平板的受力图

2）取平板为研究对象，因两个轮子的运动相同，有 Ff1?Ff2，

平板的加速度为a?2a1. 按质心运动定理列出平板的动力学方程 F?2Ff1?ma， 平板的加速度为

a?

8F. 11m8-21 转子的质量为m = 20 kg，其对称面垂直于转轴，由于加工的误差造成偏心距e = OC

= 0.1 mm，如图所示。当转子以等转速n = 1 200 rpm转动时，且点O到两轴承A和B之间的距离相等，即OA = OB。试求轴承A和B处的动约束力。 解：取转子为研究对象，轴承A和B处的动约束力在轴线和质心C决定的平面内，因此在此动平面内分析. 质心C的加速度 aC?e?2，

加惯性力 FI?ma?2. C?me由达朗贝尔原理和对称性知 FA?FB?题8-21图

1I1F?me?2. 22代入数据得轴承A和B处的动约束力的大小为

FA?FB?15.79N，

方向为在ABC平面内与AB轴垂直. 轴承A和B处的静约束力在

转子受力图

1铅锤面内与AB轴垂直，其值为mg?98N.

2

8-22 位于铅垂平面内作平面运动的两均质杆OA与AB用铰连接，并在O端用铰支座支

承，如图所示。设两杆的长度同为l，质量同为m，杆OA位于水平、杆AB与铅垂线成30? 位置无初速地释放瞬时，不计铰链处摩擦，求杆OA和杆AB的角加速度。 解：1）取OA与AB杆为研究对象.

ⅰ）运动分析. OA杆作定轴转动，AB杆作平面运动，初瞬时各

19

题8-22图

点的速度为零. 设AB杆角加速度为?1，BC杆角加速度为?2，则有

aC1?1l?1，aA?l?1； 2

?选A为基点，则有 aC2x?aC2Acos30?3l?2， 4加速度分析图

1aC2y?aA?aC2Asin30??l?1?l?2，

4ⅱ）动力学分析. 加惯性力

II F1?maC1，MC1?JC1?1；

FC2x?maC2x，FC2y?maC2y，MC2?JC2?2 其中JC1?JC2?

III12ml. 根据达朗贝尔原理，有 12

受力分析图

?mI1O?0，

l?2?MIC11?F?mgll??I?F2Iy?mg?l?sin30???F2Ixcos30??MC?0. 2222????2）取AB杆为研究对象. 如前加惯性力后列动静方程

?mA?0，

l?2sin30? F2y?mg?IlI?F2Ixcos30??MC?0. 222联立上面两式 ，解得 ?1?

8-23 均质杆AC的质量为30 kg，在铅垂位置处于平衡，如图所示。杆与地面的滑动摩擦

63g6g，?2??. 55L55LAB杆受力图

因数为0.3，如果某瞬时在点B处突然加一水平力F，大小为200 N，试求该瞬时点C的加速度。

解：取杆AC为研究对象. 列出平面运动微分方程

?F ?F

x?0，F?FAx?maD， ?0，FAy?mg?0

题8-23图

20

y