表面积变化备课中的一些感悟

《表面积的变化》备课中的一些感悟

新课标苏教版《数学》六年级上册长方体和正方体单元最后一课时是一节实践活动课，主要探讨相同的正方体拼成的大长方体表面积的变化规律。这一课如何去教，备课组的老师曾在一起拉家常般地谈了一谈，大家想到最多的就是有关这一章节的内容考试会如何去考，学生最容易出现的错误又会是什么，采取怎样的策略让学生少出差错，等等。虽说是操作课，但最后都还将落实到如何计算上去，即能准确算出给定的几个正方体拼成的大长方体的表面积最少是多少。这种思路也是我长期以来一贯遵循的教学套路，但心中总觉得少了些什么。当新教材把“表面积的变化”作为单独的课时列出来时，我能否把自己多年来一直想告诉学生公式以外的东西渗透给他们?他们能接受吗?于是，我决定尝试一种新的教学思路。

这节课的设计的最大不同之处是在教材的最后一部分“拼拼说说”的处理上，以下是我的几个教学片段剪辑及设计说明。 片段一

师：用6个体积是1立方厘米的正方体可以拼成几种不同的长方体?在拼成的长方体中，哪一个长方体的表面积小?为什么?

[设计说明：教材上原来的问题是“哪个长方体的表面积大?大多少”，而我把它改成“哪个长方体的表面积小”，第二个问题改咸“为什么”。主要出于以下考虑：如果任意改变物体的形状(正方体也能变形)，表面积可以实现无限大，但物体越接近球体，表面积就越小，所以由比大改为比小，更能揭示表面积的变化规律。同时第二个问题的改变把学生由简单地数一数引向深层次的规律探索。]

学生通过学具操作，很快发现有两种不同的拼法(如下图)。

学生很容易发现第二种拼法所得到的长方体表面积小，理由也简单，第二种拼法共减少了14个小正方形的面，而第一种拼法，只减少了10个小正方形的面。

师：大家通过数减少了几个面确定谁的表面积小当然是可以的，除此以外，我们能否通过一个简单的操作来说明第二种拼法的表面积比第一种小呢?

学生一时茫然，不知所措。

教师又进一步引导：你们能否在第一种拼法的基础上，稍作变动，将它转化成第二种拼法呢?各组学生如下页图所示完成了操作。

师：从刚才的操作过程中，长方体的表面积增加了哪一部分，又减少了哪一部分?你们能发现吗?

学生很快发现，当把第一种拼法分成两部分时，长方体增加了2个小正方形面，再把两部分拼在一起时，又减少了6个小正方形面，所以第二种拼法的表面积小。

很多学生都认为这种方法简单，但就在这时，一个男生站了起来：“老师，你的要求是不能数，刚才我们比较的时候还不是数了吗?”

是啊!这是我备课时没有考虑到的，但我灵机一动，在黑板上画了一个隐去了小正方体的示意图：

学生通过示意图很容易发现增加的两个面较小，而减少的两个面却要大得多，当然不用计算就能确定第二个长方体的表面积小。 片段二

[设计说明：按教材要求，教学内容已基本完成，以下是我对教材的进一步开发与尝试。]

师：如果用8个体积是1立方厘米的小正方体拼，有几种拼法?拼成怎样的长方体表面积最小?

学生很快通过操作发现有以下三种拼法(如下图)，其中第三种拼法的表面积最小。

师：如果用12个体积是1立方厘米的小正方体拼，有几种拼法?拼成怎样的长方体表面积最小?

同样学生摆出了以下四种拼法(如下图)，第四种拼法的表面积最小。

师：如果用16个体积是1立方厘米的小正方体拼，拼成怎样的长方体表面积最小?

学生摆出了以下四种拼法（如下图)，第四种拼法的表面积最小。

讨论：从前面的四次操作中，你能否总结出怎样拼得的长方体表面积最大?怎样拼得的长方体表面积最小?

学生的讨论异常热烈，并很快发现拼成一长排，表面积最大，但对表面积最小的拼法表述却各不一样。

生1：表面积最小，就要尽可能地多摆几层。

大部分学生也同意该生的意见，教师随即以12个小正方体为例，把图中的第二种拼法(见上页)竖起来。

师：这个长方体共有6层，你能说它的表面积比三层(第四种拼法)的长方体表面积小吗?

生1很快补充：这种不能算真正的6层，如果把它推倒，只能算是一层2排，没有右边的长方体的层数高。

师：那你的意思应该怎样表述更为准确呢?

生2：摆成的长方体既不能是一长排，也不能是一层。

师：你的意思是说摆成的长方体在高度上不能只有一层，在宽度上也不能只有一排，长、宽、高三个方向上要兼顾，都最 好不要是1，对吗? 学生普遍同意第二个学生的意见，认为这样的表述更加准确。

师：同学们，你们分析得很好，老师也能听懂你们的意思，但有没有更简洁、更科学的表述呢?大家不妨再来仔细观察刚才三种表面积最小的长方体的拼法，它们在形状上有什么特征?

生3：我认为如果能拼成一个大正方体，就一定要拼成正方体，如果不能拼成大正方体，那么就尽可能地把它们拼成近似于正方体的形状。

师：你的发现太深刻了，但老师还有一个问题，什么样的长方体才叫尽可能地接近正方体呢?

真是一石激起干层浪，学生的理解不一而足，最终大家都把意见集中在拼成的长方体的长、宽、高要尽可能地接近。

生4：老师，我还发现，用小正方体拼长方体，与我们五年级时学的用小正方形拼长方形有相似的地方，也就是拼得的图形越接近于正方形，它的周长就越小，而这里是拼得的形体越接近正方体，它的表面积就越小。

…… 片段三

[设计说明：片段二教学结束，应该说已经很好地完成了教材所规定的教学目标，但我认为仅限于同样的小正方体拼接还不能深刻地揭示表面积的变化规律，以下设计主要是以讲座的形式展开。]

师：老师这里有一桶沙子，它是由许多小沙粒组成的，每个小沙粒也有体积，我们把它堆成怎样形体的沙堆，它的表面积最小?堆成怎样形体的沙堆，它的表面积最大?

学生一致认为把它摆成正方体的沙堆，它的表面积最小，而把这个沙堆平铺在地面上，铺得越薄，它的表面积就越大。

师：你们的想法很好，不过老师还要告诉你们，作为一桶沙，它确实可以堆成一个正方体，不过正方体还不是表面积最小的一种堆法，如果把它堆成一个球，它的表面积才是最小的。我们前面在拼长方体时，都有一个前提，就是必须拼成一个大长方体，在这个基础上当然是越接近正方体，它的表面积就越小，如果不限定为长方体，那么就是越接近球体它的表面积就越小。

教室里一下子安静下来，所有的学生似乎都陷入沉思中，他们甚至忘记了下课的铃声。

师：小狗、小猫在睡觉时总喜欢把身体圈缩成一团，这是为什么? 生：这样可以更暖和。

师：为什么圈成一团睡觉就更暖和呢? 学生不知从何说起。

师：大家能否联系我们今天学的表面积变化规律来谈一谈呢?

很快有学生发现：圈成一团，身体更接近于一个球体，露出的表面积最小，所以更暖和。

学生在饶有兴致中结束了这一节难得的操作实践课。 反思

在与学生思想的交流与碰撞中，我上完了这一教学内容，比别人整整多用了一课时，不但不觉得累，还有一种少有的轻松和得意。在这堂课上我到底带给了学生什么?没有公式，也 没有像样的计算，并且我现在讲的内容在小学阶段考试中是绝对考不到的，但我却感到格外的轻松，甚至有一种小小的成就感，因为我是真正引导学生去思考，引

导学生去发现，使学生感受了一次真正的数学内在美。或许多少年后，他们已经忘了在小学里学的点点滴滴，但还能记得我这一节课。我甚至还在幻想：会不会有不喜欢数学的学生因为我这一节课而对数学产生了兴趣呢?或者说那些瞧不起数学的同学开始敬畏起数学来?

其实像这样好的数学学习素材俯拾皆是，但在考试的大背景下却被我们一点点丢弃了。是啊，为了分数，为了功利，我们抛弃的东西太多太多，这到底是谁之过?很多老师在谈论这样的话题时，总不免把责任推到考试的身上。但是我又要说，考试，特别是区域性统考，由统到放，再由放到统，这其中必有它的道理。教师如果能在考试的大环境中，仍能坚持自己的追求，这不仅是对自我教学理想的坚守，更是对自己教学质量的 自信