最全教师版整理全面《高中数学知识点归纳总结》

m①An?n?n?1??n?2???n?m?1?

?a?b?n0n1n?12n?22?Cna?Cnab?Cnab?rn?rr?Cnabn！； A??n?m?!mn ?nn?Cnb?n?N??.

⑵二项展开式的通项公式：

rn?rrTr?1?Cnab?0?r?n,r?N,n?N??.主要用途

n②An?n!，规定0!?1.

⑹组合数公式： ①Cn?mCn?mn?n?1??n?2???n?m?1?或

m!n！；

m!?n?m?!n?m，规定n是求指定的项.

⑶项的系数与二项式系数

项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数.如

在(ax?b)n的展开式中，第r?1项的二项式系数

②C?CmnC?1.

0nrrn?rr为Cn，第r?1项的系数为Cnab；而(x?)n的

1x⑺排列与组合的区别：排列有顺序，组合无顺序.

mmm⑻排列与组合的联系：An，即排列就是先?Cn?Am展开式中的系数等于二项式系数；二项式系数一定为

正，而项的系数不一定为正. ⑷?1?x?的展开式：n组合再全排列.

mCn?An?(n?1)??(n?m?1)n!??(m?n)Am?(m?1)??2?1m!?n?m?!mnmm1n?12n?2n0?1?x?n?Cn0xn?Cnx?Cnx???Cnx，

若令x?1，则有

12n. ?1?1?n?2n?Cn0?Cn?Cn???Cn⑼排列与组合的两个性质性质

mmm?1mmm?1排列An；组合Cn. ?1?An?mAn?1?Cn?Cn二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数

0213的和.即Cn?Cn?????Cn?Cn?????2n?1

⑽解排列组合问题的方法

①特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）.

②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）.

③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）. ④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）. ⑤有序问题组合法.

⑥选取问题先选后排法. ⑦至多至少问题间接法.

⑧相同元素分组可采用隔板法. ⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！. 3、二项式定理 ⑴二项展开公式：

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⑸二项式系数的性质：

（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项

mn?m式系数相等，即Cn； ?Cn（2）增减性与最大值：当r?数Cr当r?n的值逐渐增大，

n?1时，二项式系2n?1时,Crn的值逐渐减小，2n且在中间取得最大值。当n为偶数时，中间一项（第

2＋1项）的二项式系数C取得最大值.当n为奇数时，中间两项（第

n2nn?1n?1和＋1项）的二项式系数22Cn?12n?Cn?12n相等并同时取最大值.

⑹系数最大项的求法

?Ar?Ar?1设第r项的系数Ar最大，由不等式组?

?Ar?Ar?1可确定r.

⑺赋值法

若(ax?b)n?a0?a1x?a2x2?...?anxn, 则设f(x)?(ax?b)n. 有： ①a0?f(0);

②a0?a1?a2?...?an?f(1);

③a0?a1?a2?a3?...?(?1)nan?f(?1);

是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件.

⑶相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，（即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两个事件叫做相互独立事件.

当A、B是相互独立事件时，那么事件A?B发生（即A、B同时发生）的概率，等于事件A、B分别发生的概率的积.即

P(A?B)?P(A)?P(B).

若A、B两事件相互独立，则A与B、A与B、A与B也都是相互独立的. ⑷独立重复试验

①一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.

②独立重复试验的概率公式 如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个试验恰好发生k次的概率

kP(k)?Cnnpkf(1)?f(?1);

2f(1)?f(?1). ⑤a1?a3?a5?a7?...?2

专题七：随机变量及其分布 ④a0?a2?a4?a6?...?知识结构

?(1p?nk)?k?0,,12n,?.

⑸条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A

发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B发生的概率.

1、基本概念 ⑴互斥事件：不可能同时发生的两个事件.

如果事件A、B、C，其中任何两个都是互斥事件，则说事件A、B、C彼此互斥.

当A、B是互斥事件时，那么事件A?B发生（即A、B中有一个发生）的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和，即

公式：P(BA)?P(AB),P(A)?0. P(A)2、离散型随机变量 ⑴随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用

字母X,Y,?,?等表示.

⑵离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.

⑶连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.

⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出.

? P(AB)?P(A)?P(B.

⑵对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件

A的对立事件通常记着A.

对立事件的概率和等于1. P(A)?1?P(A). 特别提醒：“互斥事件”与“对立事件”都是就

两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定

Y?aX?b(a,b是常数） 若X是随机变量，则Y- 7 -

也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）. 3、离散型随机变量的分布列 ⑴概率分布（分布列）

n件,其中恰有X件次品数,则事件?X?k?发生的

kn?kCMCN?M概率为P(X?k)?(k?0,1,2,nCN设离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2，?，xi，?，xn，

X的每一个值xi（i?1,2,?,n）的概率P(X?xi)?pi，则称表 ,m),于

是得到随机变量X的概率分布如下：

X P x1 x2 ? xi ? xn X 0 1 ? m p1 p2 ? pi ? pn

0n?01n?1mn?mCMCNCMCNCMCN?M?M?M ? P nnnCNCNCN为随机变量X的概率分布，简称X的分布列. 性质：①pi?0,i?1,2,...n; ②

?pi?1ni?1.

其中m?min?M,n?,n≤N,M≤N,n,M,N?N.

*⑵两点分布

如果随机变量X的分布列为

0 1 X

p P 1?p

则称X服从两点分布，并称p?P(X?1)为成功概率.

⑶二项分布

如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

kkP(X?k)?Cnp(1?p)n?k.

我们称这样的随机变量X的分布列为超几何分布列,

且称随机变量X服从超几何分布.

注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样；

⑵超几何分布中的参数是M,N,n.其意义分别是 总体中的个体总数、N中一类的总数、样本容量. 4、离散型随机变量的均值与方差 ⑴离散型随机变量的均值

一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X P 则称

x1 x2 ? xi ? xn p1 p2 ? pi ? pn 其中k?0,1,2,...,n,变量X的概率分布如下： q?1?p，于是得到随机

? ? kE?X??x1p1?x2p2??xipi??xnpn为离散型

X 0 1 k ? n?kn 随机变量X的均值或数学期望（简称期望）.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

000n11n?1P Cnpq Cnpq Cnpqk ? Cnpq nn 性质：①E(aX?b)?aE(X)?b. ②若X服从两点分布，则E(X)?p. ③若X~B?n,p?，则E(X)?np. ⑵离散型随机变量的方差

一般地，若离散型随机变量X的分布列为 我们称这样的随机变量X服从二项分布，记作

X~B?n,p?，并称p为成功概率.

判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点： ①对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一； ②重复性：即试验是独立重复地进行了n次;

③等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等. 注：⑴二项分布的模型是有放回抽样；

⑵二项分布中的参数是p,k,n.

⑷超几何分布

一般地, 在含有M件次品的N件产品中，任取

- 8 -

X P 则称

x1 x2 ? xi ? xn p1 p2 ? pi ? pn

D(X)??(xi?E(X))pi为离散型随机变量X的

2i?1n??xy?nxyiii?1n

n方差，并称其算术平方根D(X)为随机变量X的标准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.

D(X)越小，X的稳定性越高，波动越小，取值?22??22?x?nxy?ny??i???i??i?1??i?1?n2、独立性检验 假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分另为{x1, x2}和{y1, y2}，其样本频数2?2列联表为：

x1 x2 y1 a c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d 越集中；D(X)越大，X的稳定性越差，波动越大，取值越分散.

性质：①D(aX?b)?aD(X). 2总计 a+c 1?P). ②若X服从两点分布，则D(X)?p(③若X~B?n,p?，则D(X)?np(1?P). 5、正态分布 正态变量概率密度曲线函数表达式：

若要推断的论述为H1：“X与Y有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度.

具体的做法是，由表中的数据算出随机变量K的

2n(ad?bc)2值K?，其中

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2f?x??12???e??x???22?2n?a?b?c?d为样本容量，K2的值越大，说明“X

,x?R，其中?,?是参数，

与Y有关系”成立的可能性越大.

随机变量K越大，说明两个分类变量，关系越强；反之，越弱。

22且??0,???????.记作N(?,?).如下图：

K2?3.841时，X与Y无关；K2?3.841时，X

与Y有95%可能性有关；K?6.635时X与Y有99%可能性有关.

2专题八：统计案例 1、回归分析 专题九：坐标系与参数方程 1、平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在??a?bx， 回归直线方程ynn??xi?x??yi?y??xiyi?nxy???b?i?1n?i?1n2其中? xi?x?xi2?nx2????i?1i?1??a?y?bx?x????x,(??0),变换?:?的作用下，点P(x,y)对

?y???y,(??0).?应到点P?(x?,y?)，称?为平面直角坐标系中的坐标伸

缩变换，简称伸缩变换。 2、极坐标系的概念

在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

M(?,?)

? - 9 -

相关系数：r???xi?1ni?1ni?x??yi?y?2n

2??xi?x???yi?y?i?1

? O 图1

x