中考数学专题特训 矩形 - 菱形 - 正方形（含详细参考答案）

再加上对顶角∠DOF=∠BOE，可利用ASA证明△BOE≌△DOF；

（2）首先根据△BOE≌△DOF可得DO=BO，再加上条件AO=CO可得四边形ABCD是平行四边形，再证明DB=AC，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证出结论． 解答：（1）证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC， ∴∠BEO=∠DFO=90°， ∵点O是EF的中点， ∴OE=OF，

又∵∠DOF=∠BOE， ∴△BOE≌△DOF（ASA）；

（2）解：四边形ABCD是矩形．理由如下： ∵△BOE≌△DOF， ∴OB=OD， 又∵OA=OC，

∴四边形ABCD是平行四边形， ∵OA=

11BD，OA=AC， 22∴BD=AC， ∴?ABCD是矩形．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）．

3．（2012?威海）如图，在?ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是（ ）

A．AE=AF B．EF⊥AC C．∠B=60° D．AC是∠EAF的平分线

考点：菱形的判定；平行四边形的性质．分析：根据平行四边形性质推出∠B=∠D，∠DAB=

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∠DCB，AB=CD，AD=BC，求出∠BAE=∠DCF，证△ABE≌△CDF，推出AE=CF，BE=DF，求出AF=CE，得出四边形AECF是平行四边形，再根据菱形的判定判断即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B=∠D，∠DAB=∠DCB，AB=CD，AD=BC， ∵AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线， ∴∠DCF=

11∠DCB，∠BAE=∠BAD， 22∴∠BAE=∠DCF， ∵在△ABE和△CDF中

∠D=∠B AB=CD ∠DCF=∠BAE ， ∴△ABE≌△CDF， ∴AE=CF，BE=DF， ∵AD=BC， ∴AF=CE，

∴四边形AECF是平行四边形，

A、∵四边形AECF是平行四边形，AE=AF， ∴平行四边形AECF是菱形，故本选项正确； B、∵EF⊥AC，四边形AECF是平行四边形， ∴平行四边形AECF是菱形，故本选项正确；

C、根据∠B=60°和平行四边形AECF不能推出四边形是菱形，故本选项错误； D、∵四边形AECF是平行四边形， ∴AF∥BC， ∴∠FAC=∠ACE， ∵AC平分∠EAF， ∴∠FAC=∠EAC， ∴∠EAC=∠ECA， ∴AE=EC，

∵四边形AECF是平行四边形， ∴四边形AECF是菱形，故本选项正确；

故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定、全等三角形的性质和判

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定、平行线的性质等知识点，主要考查学生的推理能力．

4．（2012?聊城）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD． 求证：四边形OCED是菱形．

考点：菱形的判定；矩形的性质．专题：证明题．

分析：首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论． 解答：证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OD，

∴四边形OCED是菱形．

点评：此题主要考查了菱形的判定，矩形的性质，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

5．（2012?济宁）如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥AB，DF∥AC，分别交AC、AB于点E和F．

（1）在图中画出线段DE和DF；

（2）连接EF，则线段AD和EF互相垂直平分，这是为什么？

考点：菱形的判定与性质；作图—复杂作图． 分析：（1）根据题目要求画出线段DE、DF即可；

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（2）首先证明四边形AEDF是平行四边形，再证明∠EAD=∠EDA，根据等角对等边可得EA=ED，由有一组邻边相等的平行四边形是菱形可证明四边形AEDF是菱形，再根据菱形的性质可得线段AD和EF互相垂直平分． 解答：解（1）如图所示；

（2）∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠FAD=∠EAD， ∵AB∥DE， ∴∠FAD=∠EDA， ∴∠EAD=∠EDA， ∴EA=ED，

∴平行四边形AEDF是菱形， ∴AD与EF互相垂直平分．

点评：此题主要考查了画平行线，菱形的判定与性质，关键是掌握菱形的判定方法，判定四边形为菱形可以结合菱形的性质证出线段相等，角相等，线段互相垂直且平分．

【备考真题过关】 一、选择题

1．（2012?南通）如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（ ） A． 3cm B．2cm C．2 3 D．4cm

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