中考数学专题特训 矩形 - 菱形 - 正方形（含详细参考答案）

思路分析：连接AC交BD于点O，则可设BO=3x，AO=4x，继而在RT△ABO中利用勾股定理求出AB，结合菱形的周长为20cm可得出x的值，再由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得出答案．解答：解：连接AC交BD于点O， 则AC⊥BD，AO=OC，BO=DO， 设BO=3x，AO=4x， 则AB=5x，

又∵菱形ABCD的周长为20cm， ∴4×5x=20cm， 解得：x=1，

故可得AO=4，BO=3，AC=2AO=8cm，BD=2BO=6cm， 故可得

1AC×BD=24cm2． 2故答案为：24．

点评：此题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直且平分的性质，及菱形的面积等于对角线乘积的一半是解答本题的关键．

对应训练

2．（2012?山西）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ） A．53cm B．25cm C．

2448cm D．cm

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2．考点：菱形的性质；勾股定理．

分析：根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．解答：解：∵四边形ABCD是菱形， ∴CO=∴BC=

11 AC=3cm，BO=BD=4cm，AO⊥BO， 22AO2+BO2 =5cm，

1×6×8=24cm2， 2∴S菱形ABCD=BD?AC 2 =∵S菱形ABCD=BC×AD， ∴BC×AE=24， ∴AE=

24cm， 5故选D．

点评：此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．

考点三：和正方形有关的证明题

例3 （2012?黄冈）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE=CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M． 求证：AM⊥DF．

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．

分析：根据DE=CF，可得出OE=OF，继而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE=∠ODF，然

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后利用等角代换可得出∠DME=90°，即得出了结论．解答：证明：∵ABCD是正方形， ∴OD=OC， 又∵DE=CF，

∴OD-DE=OC-CF，即OF=OE，

?AO=DO ?在RT△AOE和RT△DOF中，??AOD= ?DOF，

?OE=OF?∴△AOE≌△DOF， ∴∠OAE=∠ODF，

∵∠OAE+∠AEO=90°，∠AEO=∠DEM， ∴∠ODF+∠DEM=90°， 即可得AM⊥DF．

点评：此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是通过全等的证明得出∠OAE=∠ODF，利用等角代换解题． 对应训练

12．（2012?贵阳）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．

（1）求证：CE=CF；

（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形． 分析：（1）根据正方形可知AB=AD，由等边三角形可知AE=AF，于是可以证明出△ABE≌△ADF，即可得出CE=CF；

（2）连接AC，交EF与G点，由三角形AEF是等边三角形，三角形ECF是等腰直角三角形，于是可知AC⊥EF，求出EG=1，设BE=x，利用勾股定理求出x，即可求出BC的上，

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进而求出正方形的周长．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，

∵△AEF是等边三角形， ∴AE=AF，

在Rt△ABE和Rt△ADF中， ∵ AB=AD AE=AF ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF， ∴CE=CF，

（2）解：连接AC，交EF于G点，

∵△AEF是等边三角形，△ECF是等腰直角三角形， ∴AC⊥EF，

在Rt△AGE中，EG=sin30°AE=∴EC=2，

设BE=x，则AB=x+2，

在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即（x+2）2+x2=4，

1×2=1， 2解得x=

?2?6， 2∴AB=?2?62?6?2=， 22∴正方形ABCD的周长为4AB=22?6．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质，解答本题的关键是对正方形和三角形的性质的熟练运用，此题难度不大，是一道

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