十年真题(2010-2019)高考数学（文）分类汇编专题05 三角函数与解三角形（新课标卷）（解析版）

（Ⅰ）求sin?ABD的值；

（Ⅱ）若CD?2，且CD?BC，求BC的长． 【答案】（Ⅰ）【解析】

（Ⅰ）在VABD中，由正弦定理，得因为?A?60?,所以sin?ABD?6（Ⅱ）BC?1 4ADBD?．

sin?ABDsin?AAD?3,BD?6，

AD36 ?sin?A??sin60??BD466， 4（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，sin?ABD?因为?ABC?90?，

所以cos?CBD?cos90???ABD?sin?ABD?在?BCD中，由余弦定理，

得CD2?BC2?BD2?2BC?BDcos?CBD． 因为CD?2,BD???6． 46 所以4?BC2?6?2BC?6?即BC2?3BC?2?0， 解得BC?1或BC?2． 又CD?BC，则BC?1．

6， 421．在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且4bcos2A3?2b?asinB. 22（1）求cosA；

（2）若a?25，c?5，求b. 【答案】(1) cosA?【解析】

解：（1）由题意知4bcos23 (2) b?1或5. 5A3?2b?asinB， 22化简得4bcosA?3asinB，

由正弦定理得4sinBcosA?3sinAsinB， 因为sinB?0， 所以tanA?即cosA?4，且A为?ABC的内角， 33. 5（2）由余弦定理得a2?b2?c2?2bccosA， 所以20?b2?25?6b， 所以b2?6b?5?0， 所以b?1或5.

22．已知在△ABC中，a2?c2?ac?b2． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）求cosA?cosC的最大值． 【答案】（Ⅰ）【解析】

?；（Ⅱ）1. 3a2?c2?b2a?c1（Ⅰ）由余弦定理得cosB?==

2a?c2a?c2因为角B为三角形内角??B??3

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得?A??C????B?2? 3??A?2???C 3?cosA?cosC=cos?=cos?2???C??cosC ?3?2?2??cosC?sin?sinC?cosC 333?sinC?cosC 2=??cosC?12=31?sinC??cosC 22=cos?6?sinC?sin?6?cosC

=sin?C?????? 6?Q0?C?2???5? ??C??36661?????sin?C???1 26???cosA?cosC的最大值是1