2020-2021备战中考数学相似综合经典题及答案解析

同法可证当点F在AB上，点E在CD上时，△EFD被 AD分得的两部分面积相等， ∴不存在某一时刻，使得△EFD被 AD分得的两部分面积之比为3：5．

（3）解：①如图3中，当以EF为直径的⊙O经过点A时，⊙O与线段AC有两个交点，连接AE，则∠EAF=90°．

由 =cosC= ，可得 ∴t= ，

∴0≤t＜ 时，⊙O与线段AC只有一个交点．

②如图4中，当⊙O与AC相切时，满足条件，此时t= ．

= ，

③如图5中，当⊙O与AB相切时，cosB= ，即 =

，解得t=

．

④如图6中，⊙O经过点A时，连接AE，则∠EAF=90°．

由cosB= = ，即 = ，t= ，

∴ ＜t≤4时，⊙O与线段AC只有一个交点．

综上所述，当⊙O与线段AC只有一个交点时，0≤t＜ 或 或

或

＜t≤4

【解析】【分析】（1）分类讨论：根据路程等于速度乘以时间，分别表示出BE,,CE,CF的长，①当

时，△CFE∽△CDA，②当

时△CEF∽△CDA，根据比例式，分别

列出方程，求解t的值；当点F在AB上，点E在CD上时，不存在△EFC和△ACD相似，综上所述，即可得出答案；

（2）不存在．理由：如图2中，当点F在AC上，点E在BD上时，作FH⊥BC于H，EF交AD于N．由题意知CF=5t．BE=4t，根据余弦函数的定义由CH=CF?cosC，表示出CH的长，从而得出BE=CH，根据等腰三角形的三线合一得出BD=DC，根据等量减等量差相等得出DE=DH，根据平行线分线段成比例定理得出

=1得出EN=FN，根据三角形中线的性

质得出S△END=S△FND ， △EFD被 AD分得的两部分面积相等，同法可证当点F在AB上，点E在CD上时，△EFD被 AD分得的两部分面积相等，故不存在某一时刻，使得△EFD被 AD分得的两部分面积之比为3：5；

（3）①如图3中，当以EF为直径的⊙O经过点A时，⊙O与线段AC有两个交点，连接AE，则∠EAF=90°．根据余弦函数的定义，由的值，故0≤t

，结论列出方程，求解得出t

时，⊙O与线段AC只有一个交点；②如图4中，当⊙O与AC相切时，

；③如图5中，当⊙O与AB相切时，根据余弦函数的定义，由

满足条件，此时t=cosB=

，列出方程，求解得出t的值；④如图6中，⊙O经过点A时，连接AE，则

，列出方程求出t的值，故＜t≤4时，⊙O与线段AC只有一

∠EAF=90°．由cosB=

个交点；综上所述，得出答案。

3．正方形ABCD的边长为6cm，点E，M分别是线段BD，AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N.

（1）如图①，若点M与点D重合，求证：AF＝MN；

（2）如图②，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出发，以

cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为ts.

①设BF＝ycm，求y关于t的函数表达式； ②当BN＝2AN时，连接FN，求FN的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB，∠DAN＝∠FBA＝90°. ∵MN⊥AF，

∴∠NAH＋∠ANH＝90°. ∵∠NDA＋∠ANH＝90°， ∴∠NAH＝∠NDA， ∴△ABF≌△MAN， ∴AF＝MN.

（2）解：①∵四边形ABCD为正方形， ∴AD∥BF， ∴∠ADE＝∠FBE. ∵∠AED＝∠BEF， ∴△EBF∽△EDA， ∴ ＝ .

∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝DC＝CB＝6cm， ∴BD＝6 ∴BE＝ ∴ ＝ ∴y＝

. cm.

cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为ts， －

t)cm，

tcm，DE＝(6

，

∵点E从点B出发，以

②∵四边形ABCD为正方形， ∴∠MAN＝∠FBA＝90°. ∵MN⊥AF，

∴∠NAH＋∠ANH＝90°. ∵∠NMA＋∠ANH＝90°， ∴∠NAH＝∠NMA. ∴△ABF∽△MAN， ∴ ＝ .

∵BN＝2AN，AB＝6cm， ∴AN＝2cm.

∴ ＝

，

∴t＝2， ∴BF＝ ∴FN＝

＝3(cm)． ＝5(cm)．

又∵BN＝4cm，

【解析】【分析】(1)根据正方形的性质得出AD＝AB，∠DAN＝∠FBA＝90°.再根据同角的余角相等得出∠NAH＝∠NDA，进而证出△ABF≌△MAN即可解答，

（2）根据正方形的性质得出两角相等证出△EBF∽△EDA，得出BD的长度，利用△EBF∽△EDA得出比例式，得出y和t之间的函数解析式，

据正方形的性质得出两角相等证出△ABF∽△MAN，得出比例式，进而解答.

4．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

（1）求证：PC是⊙O的切线； （2）求证：BC= AB；

（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN MC的值. 【答案】（1）证明：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO， 又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，∴∠A=∠ACO=∠PCB， 又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°， 即OC⊥CP，

∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线