电磁场理论习题及答案4

(2)球外电场是由四个点电荷产生的合成场。当D??时，Q 和?Q在导体球及邻域的场变化缓慢，是均匀场，可用球心处的场表示

E?2QQ1Q (不变) ??E0D24??0D22??0D21其电位表达式

?0??E0z??E0rcos? 电偶极矩(q1、q2)在球外的电位为

pcos?a3Qcos?3cos? ?p? ??Ea04??0r22??0D2r2r2故球外电位为

a3 ???0??p?(?E0r?E02)cos?

r4.7 半径为a的长导线架在空中，导线和墙和地面都相互平行，且距墙和地面分别d1和d2，设墙和地面都视为理想导体，且d1??a，d2??a。试求此导线对地的单位长电容。

解：设导线单位长带电荷为?l，如图所示。 墙和地面的感应电荷可由三个镜像电荷代 替，因d1??a，d2??a，则像电荷的大 小和位置为

y ?l1 d1 ?l ?d2O d2 ?'l1???l 位于(?d2，d1) ?'l2??l 位于(?d2，?d1)

x

?d1 ?'l3???l 位于(d2，?d1)

?l2 ?l3 导线的线电荷?l(在其轴线上)以及镜像 题 4.7 图 线电荷?'l1、?'l2、?'l3在导线表面上产生的电位为

?l?1111??ln?ln? ???0??1??2??3??ln?ln222??0?a2d12d4d1?4d22????2dd??l12? ?ln?222??0?ad1?d2???故导线对地的单位长电容为 C0??lU??l??2??0?2dd12ln?22??ad1?d2????

4.8 半径为a的接地导体球，离球心r1(r1?a)处放置一个点电荷q，如图所示,用分离变量法求电位分布。

解：设?(r,?)??0(r,?)??in(r,?)其中

?q0(r,?)?q4??R?

04??220r?r1?2rr1cos?是点电荷q的电位，?in(r,?)是导体球上的感应电荷产生的电位。

电位?(r,?)满足的边界条件为 (1)r??时，?(r,?)?0 (2)r?a 时，?(a,?)?0

由式(1)可得?in(r,?)的通解为 ??in(r,?)??Anr?n?1Pn(cos?)

n?0为了确定系数，利用

1R的球坐标展开式 ??1??rn(r?r1)R???n?0rn?1Pn(cos?)1 ??rn?1??n?0rn?1Pn(cos?)(r?r1)1将?0(r,?)在球面上展开为

?q?an0(r,?)?4???Pn(cos?)

0n?0rn?11代入式(2)，有 ? ?A?n?1q?naP?)?n?04???ann(cosrn?1Pn(cos?)?0 0n?01比较Pn(cos?)的系数，得到

??qa2n?1 An4??n?1 0r1z q r1 a O 题4.8 图

故得到球外的电位为

a2n?1 ?(r,?)??P(cos?) ?n?1n4??0R4??0n?0(r1r)qq?4.9 在一个半径为a的圆柱面上，给定其电位分布：

0?????U0 ???

0?????0?求圆柱内、外的电位分布。

解：本题的电位与坐标z无关。除了圆柱面上的已知电位以外，根据问题本身的物理含义，可以得出，圆柱外部的电位在无穷远出应该等于零，圆柱内部的电位在圆柱中轴线上应该为有限值，根据这一点，可以判断出，在圆柱外，通解中的正幂项的系数为零，在圆柱内部，通解中的负幂项的系数同样为零。 于是，柱内电位的通解为

?1(r,?)?A0??rn(Ancosn??Bnsinn?) 待定系数A0、An、Bn可以由界面的电位来确定，即

n?1?0?????U ?1(a,?)?A0??an(Ancosn??Bnsinn?)??0

?????0n?1?0?由傅立叶级数的有关知识，可得出

?U01 A0? ?(a,?)d??12???2? aAn?n1??????(a,?)cosn?d?

10 An?a?n??1?U0cosn?d??0 (n?1)

? aBn?n?????(a,?)sinn?d?

1a?nU0n Bn?Usinn?d??[1?(?1)] 0??0n?a?n即

2a?nU0 Bn? (n?1,3,5,??)

n??将这些系数代入上面的通解，得到圆柱内部的电位

U2U0 ?1(r,?)?0?2?1r()sinn? ?nan?1,3??n4.10 假设真空中在半径为a的球面上有面密度为?0cos?的表面电荷，其中?0是常数，求任意点的电位。

解：除了面电荷，球内和球外再无电荷分布，虽然可以用静电场的积分公式计算各点的电位，但使用分离变量法更方便。设球内、球外的电位分别是?1,?2。由题意知，在无穷远外，电位为零；在球心处，电位为有限值。所以可以取球内、球外的电位形式如下：

?1(r,?)??AnrnPn(cos?) (1) ?2(r,?)??Bnr?n?1Pn(cos?) (2)

n?0n?0??球面上的边界条件为

?r?a,?1??2? ? ??2??1r?a,??0(?)??S??0cos???r?r?将式(1)和式(2)代入边界条件，得

?AnaPn(cos?)??Bna?n?1Pn(cos?) (3)

nn?0n?0?? ?nAnan?0?n?1Pn(cos?)??(n?1)Bna?n?2Pn(cos?)?n?0??0cos? (4) ?0比较式(3)等号的两边，得

Bn?Ana2n?1 (5) 将式(5)代入式(4)，整理以后变为 ?(2n?1)Anan?1Pn(cos?)?n?0??0cos? ?0使用勒让德多项式的唯一性，即将区间[?1,1]内的函数可以唯一的用勒让德多项式展开，并考虑P?)?cos?，得 1(cos A1??0 3?0 An?0 (n?1)